- •8.1. Линии второго порядка на плоскости
- •8.2 Поверхности второго порядка в пространстве
- •8.3 Криволинейные системы координат
- •9.1. Вырожденные линии второго порядка
- •9.2 Эллипс и его свойства
- •9.3 Гипербола и ее свойства
- •9.4 Парабола и ее свойства
- •10.1 Эллипсоид
- •10.2 Эллиптический параболоид
- •10.3 Гиперболический параболоид
- •10.4 Однополостный гиперболоид
- •10.5 Двуполостный гиперболоид
8.3 Криволинейные системы координат
В ряде практических приложений оказывается целесообразным использование систем координат, отличных от декартовой.
Полярная система координат
Примером альтернативной системы координат на плоскости является полярная система координат.
Положение точки на плоскости в этой системе координат задается парой упорядоченных чисел , где , , удовлетворяющих ограничениям .
Точка O называется полюсом, а луч OP – полярной осью.
Угол отсчитывается против часовой стрелки. Для полюса этот угол не определяется.
|
y
O P x
|
Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к полярной и обратно имеют следующий вид:
.
Использование полярной системы координат позволяет упростить описание объектов, обладающих точечной симметрией.
Сферическая система координат
В ряде практических приложений, требующих аналитического исследования пространственных объектов, используется так называемая сферическая система координат.
Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел , (см. рис.), где
, ,
которые удовлетворяют ограничениям .
Использование сферической системы координат иногда позволяет получить более простое аналитическое описание геометрических объектов, обладающих точечной симметрией. Например, уравнение сферы единичного радиуса с центром в начале координат в сферической системе будет иметь вид .
Формулы перехода между ортонормированной декартовой системой координат и сферической имеют следующий вид:
а для обратного перехода соответственно
Цилиндрическая система координат
В тех случаях, когда исследуемый пространственный объект обладает осевой симметрией, может оказаться удобным применение цилиндрической системы координат.
Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел (см. рис.), где
, ,
удовлетворяющие ограничениям
Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к цилиндрической и обратно имеют следующий вид:
СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
НА ПЛОСКОСТИ
Лекция 9
9.1. Вырожденные линии второго порядка
К вырожденным линиям второго порядка будем относить следующие типы.
1. Тип линии “Несовпадающие прямые”
Уравнение определяет пару пересекающихся прямых в системе координат . В свою очередь уравнение при определяет пару параллельных прямых.
2. Тип линии “Совпадающие прямые”
Уравнение определяет прямую в системе координат . Получается из типа линии 1 предельным переходом при .
3. Тип линии “Точки”
Уравнение определяет единственную точку – начало координат системы .
4. Тип линии “Пустые множества”
Уравнения и не определяют на плоскости никаких точек. Однако эти случаи иногда именуют “мнимыми линиями”.