Стохастические обязательства

Усложним рассматриваемую модель: в прошлом параграфе мы предполагали сумму долга неизменной. Предположим теперь, что долг т.ж. является стохастическим процессом, удовлетворяющим уравнению Ито: . Напомню, что того же типа уравнения были и для S,V: .

Пусть винеровские процессы коррелируют и имеют матрицу ковариаций

Найдем соотношение для скорости восстановления активов . Используем для этого формулу интегрирования по частям: .

Пусть всюду далее для простоты.

.

Заметим, что (по формуле Ито)

Тогда, , потому что остаются только к-ты при .

Поэтому или вспоминая, что , получаем:

Разделим все на δ_t (представим хитрым способом)

Перепишем, чтобы обозначить

(7)

Перейдем к риск – нейтральной вероятности. Мы знаем, что в этом случае _{, . Поэтому (7) преобразуется к виду:}

.

Обозначим через , причем

так как

,

то .

Уравнение перепишется в виде, то есть получили обычное дифференциальное уравнение типа Ито. Мы знаем его решение (если σ₂, σ₃ - константы):

- цена незащищенного опциона со стохастической стоимостью долга.

Ранее мы получили формулу (3) для цены незащищенного опциона, когда долг был детерминирован. Сформулируем без доказательства теорему 2 – аналог теоремы 1, что была выше.

Теорема 2 (о цене опциона кредитного риска со стохастической суммой долга): Если Х_t – цена опциона покупателя с номинальной функцией выплаты

Х_Т = (S_T-E)⁺ и действительной выплачиваемой суммой Х_Т = δ_t(S_T-E)⁺, где _T = V_T/D_T, причем , то в случае банкротства

где

(см. теорему 1)

Замечание: При δ_t ≡ 1 получаем частный случай, сформулированный в теореме 1 выше; при D_t, стремящимся к бесконечности, то есть δ_t стремится к нулю, тогда банкротство произойдет с вероятностью 1, исчезают 2 последних слагаемых формулы (8) и получается обычная формула Блэка – Шоулса.

Ценообразование деривативов дефолтов

(CDS)

Опр.: свопом на дефолт называется дериватив,