Модель стохастической процентной ставки

Определение: Вероятности P и Q называются эквивалентными, если существует стохастический процесс γ(w, t), что каждому А, принадлежащему G=2^Ω

Теорема (Гирсанова): Вероятность P^* является риск-нейтральной, если существует процесс γ(t), что каждому А, принадлежащему G, что

,

где , s – время. Кроме того - винеровский процесс относительно P^*.

Замечание: M(ω,t) называется стохастическим дисконтирующим фактором.

Теорема (о существовании риск-нейтральной вероятности процесса Ито):

Пусть

(*)

- процесс Ито. Тогда существует риск-нейтральная вероятность P^*, относительно которой решение дифференциального уравнения (*) есть

,

- винеровский процесс относительно P^*.

Доказательство:

Воспользуемся теоремой Гирсанова и найдем процесс γ(t), чтобы или . Тогда , где - винеровский процесс относительно Р^*, а W – винеровский процесс относительно Р.

Обозначая , имеем:

- дифференцируем по стохастической части, которой нет в γ_t.

Исходное дифференциальное уравнение:

Выбирая - цена риска – показатель Шарпа, получаем:

Получили новое дифференциальное уравнение относительно риск-нейтральной вероятности Р^*, так как в случае и определяет риск-нейтральную эволюцию капитала: или капитал, получаемый инвестированием в безрисковый актив под безрисковую процентную ставку. Значит, нашли , которая определяет Р^*. Найдем решение исходного ДУ (*) относительно Р^*.

Известно общее решение относительно Р:

Так как (*) преобразуются в уравнение , эквивалентное исходному относительно риск-нейтральной вероятности, то или расписывая

d(ln S), получим:

,

чтд.

В доказанной теореме процентная ставка является постоянной. Перейдем к рассмотрению процентной ставки стохастического процесса. Пусть r = r(W,t).

Определение: Пусть P(t,T) – цена бескупонной облигации в момент t<T, t – время погашения. Мгновенной форвардной процентной ставкой назовем функцию

или, что то же самое, , T = const

Определение: Безрисковой процентной ставкой назовем r(t) = r_t = f(t,t).

Замечание: Если В_t – цена облигации в момент t, В₀ – её номинальная стоимость, то , откуда . Если r_s=r(s)=r – постоянная ставка, то - непрерывно начисляемый процент.

Пусть форвардная процентная ставка является процессом Ито, т.е представима в виде . Интегрируя,

Так как r_t = f(t,t), то . Следовательно, так

как , то .

Меняя пределы интегрирования по теореме Фубини, получим:

. (1)

Кроме того, так как , подставляя выражение f(t,Т) и применяя теорему Фубини, аналогично получаем:

. (2)

Обозначим для простоты написания:

Теорема 2 (без доказательства): Если уравнение

(3)

имеет единственное решение γ_t, то существует риск – нейтральная вероятность Р^* для дисконтированной цены

Кроме того, замена переменного вида

(4)

не меняет вероятность Р^*.

Используем теорему 2. Пусть - винеровский процесс относительно риск – нейтральной вероятности Р^*. Тогда, так как

,

пользуясь заменой (4) имеем:

,

или дифференцируя по t, имеем:

Определим цену P(t,T) относительно риск – нейтральной вероятности Р^*.

Рассмотрим(воспользуемся свойством интегралов для и ) =

.

Полагая в (1) начальный капитал В₀=1, видим, что последние три слагаемые и есть ln B_t. Тогда

(5)

В то время, , то есть при условии . Вдобавок, мы видим из (5): .

Допустим, что из уравнения (3) мы нашли γ_t. Перейдем от текущей вероятности Р к Р^*:.

Тогда в (5) имеем:

(пользуясь (3)) = . (6)

Ранее мы получили, что относительно риск – нейтральной вероятности

,

или, меняя Т на t, имеем

.

Так как r_t=f(t,t), то из последнего

. (7)

Интегрируя обе части уравнения (6) по промежутку [0,t], имеем:

Подставим последнее равенство в (6):

- искомая цена Р(t,T) относительно риск – нейтральной вероятности.

Кроме того, из (6) .

Дифференцируя его по формуле Ито получим:

­

– дифференциальное уравнение для цены бескупонной облигации в момент времени t.