Билет 4, 13,22 Конечная форма признака Даламбера.

Пусть , тогда ряд сходится.

Пусть , тогда ряд расходится.

Доказательство. Пусть .

Тогда .

, и ряд сходится. Можно было, не оценивая частичную сумму ряда, заключить, что ряд сходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть , Тогда . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Предельная форма признака Даламбера.

Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Если , то признак не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.

Доказательство. Пусть . Тогда .

При малом . По конечной форме признака Даламбера ряд сходится.

Пусть . Тогда . При малом , то есть . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит произведение некоторых чисел или факториал.

Правда, если общий член ряда содержит факториал, то его можно заменить по формуле Стирлинга и применять второй признак сравнения.

Билет 5,14,23

Степенной ряд. Доказать теорему Абеля.

Степенным рядом называется ряд вида

Степенной ряд заведомо сходится при - центр сходимости ряда.

Теорема Абеля.

1) Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он абсолютно сходится в интервале

, симметричном относительно .

2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Тогда он расходится в области .

Доказательство.

1. Пусть степенной ряд сходится в точке , тогда числовой ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда . Тогда .

Рассмотрим произвольное, но фиксированное .

Оценим ,

где .

По первому признаку сравнения числовых знакоположительных рядов ряд сходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающей геометрической прогрессией . Следовательно, в области степенной ряд абсолютно сходится.

2. Пусть степенной ряд расходится в точке . Рассмотрим . Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точке . Противоречие.

Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.

Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.

Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.

Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точке степенной ряд расходится. Если выбрать , то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть .

Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд (по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервале сходимости степенного ряда.