Вопросы по математическому анализу

1. Предел функции. Функция стремится к бесконечности.

2. Основные свойства пределов.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p - действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0. 

Предел логарифмической функции

где основание a > 0. 

Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что  для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L. 

3. Предел функции sin x/x

4. Предел (1 + 1/n) ^ n

5. Непрерывность функции в точке.

1. Функция  непрерывна в точке , если пределы слева и справа равны и равны значению функции в этой точке, т. е.

2. Функция  непрерывна в точке , если она определена в этой точке и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.  вблизи точки .

Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Непрерывная на отрезке  функция принимает любое промежуточное значение между ее наименьшим  и наибольшим  значением, то есть  для всех . Отсюда следует, что если в граничных точках отрезка  функция имеет разные знаки, то внутри отрезка есть по крайней мере одно такое значение , при котором функция обращается в ноль. Это свойство непрерывности функций позволяет находить приближенно корни многочленов.

Теоремы непрерывности

Теорема 1.  Пусть функция f (x) непрерывна в точке x = a, и C является константой. Тогда функция Сf (x) также непрерывна при x = a.  Теорема 2.  Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a.  Теорема 3.  Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функцийf (x) g (x) также непрерывно в точке x = a.  Теорема 4.  Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций  также непрерывно при x = a при условии, что .  Теорема 5.  Предположим, что функция f (x) является дифференцируемой в точке x = a. Тогда функция f (x) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).  Теорема 6 (Теорема о предельном значении).  Если функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, что

для всех x в интервале [a, b] (смотрите рисунок 1). 

6. Непрерывность функции на интервале.

7. Точки разрыва.

Определение. Функция  имеет точку разрыва при  , если она определена слева и справа от точки  , но в точке  не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Точки разрыва функции  :

1. Точка устранимого разрыва;

2. Точка разрыва первого рода;

3. Точка разрыва второго рода.

Точка  является точкой устранимого разрыва, если функция в точке  не определена и существуют равные конечные пределы  и  , т.е. .

Точка  является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы и  , т.е. выполняется второе условие непрерывности и не выполняются остальные условия или хотя бы одно из них.

Точка  является точкой разрыва второго рода, если один из пределов  и равен бесконечности ( ).