Метод координат

В элементарной (школьной) геометрии изучаются свойства прямолинейных фи­гур и окружности (в разделе планиметрия), а также прямые и плоскости в про­странстве, многогранники и круглые тела — цилиндр, конус, шар (в разделе сте­реометрия). Основную роль при этом играют построения, а вычислениям отводится роль вспомогательная. Выбор того или иного построения для каждого конкрет­ного случая требует обычно индивидуального подхода и соответствующей изобре­тательности, что и составляет основную трудность при решении задач методами элементарной геометрии.

Аналитическая геометрия и была призвана устранить эти трудности и создать единый метод решения различных геометрических задач. Поставленная цель была достигнута разработкой координатного метода, в котором основную роль играют вычисления, выполняемые по заданным формулам, а построения имеют вспомога­тельное значение.

Необходимые предпосылки для создания метода координат были подготовлены еще трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония Пергского (ок. 260—170 до н. э.). Однако систематическое развитие этот метод получил в первой половине XVII века в работах Рене Декарта и Пье­ра Ферма.

Рене Декарт (Rene Descartes, 1596—1650) — знаменитый французский фи­лософ, математик, физик и физиолог. Родился в г. Лаэ (департамент Турень) в дворянской семье. В 1629 г. поселился в Голландии, где написал большую часть своих работ. Умер в Стокгольме, куда переехал в 1649 г.

В физике Декарт установил закон преломления света на границе двух сред (который несколько раньше и независимо от него был сформулирован В. Снеллиусом), пояснил образование радуги. Ему же принадлежит формулировка закона сохра­нения количества движения (в скалярной форме) и разработка механистической гипо­тезы образования тел Солнечной системы. В области физиологии Декарту принадле­жит большое число экспериментов и ряд плодотворных научных идей, в частности, он первым ввел понятие о рефлексе.

В 1637 г. Декарт издал большой философский трактат «Рассуждение о мето­де. С приложениями: Диоптрика, Метеоры, Геометрия» (русский перевод, Гостехиздат, М., 1953), в котором, в частности, систематически изложен метод прямоли­нейных координат, введена удобная алгебраическая символика, сохранившаяся до наших дней, выполнена классификация кривых на алгебраические и трансцен­дентные, а также даны способы построения касательных и нормалей к плоским алгебраическим кривым. Благодаря этой работе, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие математики, Декарта, наряду с его не менее знаменитым соотечественником Ферма (который раньше и более последовательно, чем Декарт, разработал метод координат, но работы Ферма, в том числе и по аналитической геометрии, были опубликованы только в 1679 г. после его смерти), и считают основоположником аналитической геометрии, а 1637 год — годом ее зарождения.

Перейдём к изложению метода координат.

§ 1. Координатная ось. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

1. Координатная ось. Вещественные числа изображают геометри­чески точками прямой линии. Для этого на прямой линии (кото­рую обычно чертят горизонтально) отмечают две точки: одну, изображающую число 0, и другую (обычно справа от первой), изображающую число 1. Отрезок 01 принимают за единицу масштаба для измерения длин на оси. Выбор eгo находится в нашем распоряжении. Но как только выбор сделан, каждое вещественное число изображается концом отрезка, измеряемого в указанном масштабе абсолютной величиной этого числа и откладываемого от точки О в сторону точки 1 (вправо), если число положительно, или в противоположную сторону (влево), если число отрицательно. Направле­ние от точки 0 к точке 1 называют положительным, противоположное направление — отрицательным (обычно положительное на­правление отмечается стрелкой).

Прямая, на которой одно из двух возможных направлений выбрано в качестве положительного, называется ориентированной прямой или осью. Таким образом, для изображения вещественных чисел служит ось, на которой выбраны точка 0 („начало отсчета", или начало координат) и единица масштаба; такая ось называется координатной осью (или числовой прямой). Полупрямая, идущая от точки 0 в положительном направлении, называется положительной полуосью; полупрямая, идущая от точки 0, в противоположном направлении, — отрицательной полуосью. Отрезок, соединяющий нача­ло координат с точкой координатной оси, называется координатным отрезком этой точки.

Каждая точка координатной оси изображает в указанном смысле некоторое вещественное число. Это число называют координатой точки. Таким образом, координата точки равна (измеренной в выбранном масштабе) длине ее координатного отрезка, взятой со знаком плюс, если точка лежит на положительной полуоси, или со знаком минус, если точка лежит на отрицательной полуоси. Начало координат имеет координату нуль. Положение каждой точки координатной оси вполне определяется заданием ее координаты.

Таким образом между совокупностью всех точек прямой и совокупностью всех вещественных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому вещественному числу соответствует одна и только одна изображающая его точка прямой, и каждой точке прямой соответствует одно и только одно вещественное число— ее координата. Геометрическое изображение чисел точками прямой доставляет одновременно способ задавать положение точек прямой числами.

2. Декартовы координаты на плоскости. Для того чтобы задавать числами положение точек плоскости, на плоскости выбирают две координатные оси, пересекающиеся, вообще говоря, под произвольным углом (разумеется, отличным от 0° и 180°). Масштабные единицы на этих осях могут быть выбраны различные. Кроме них, для измерения длин на плоскости выбирается общая „абсолютная масштабная единица", которой, в частности, измеряются и длины масштабных единиц на осях. В качестве начала отсчета на обеих осях берется точка их пересечения О (начало координат: от латинского origo – начало; отсюда и «оригинал», т.е. первоисточник, начало). Одну из координатных осей называют осью абсцисс (осью х), другую -осью ординат (осью у), Пусть М— какая-нибудь точка на плоскости. Проведем через М прямые, параллельные координатным осям (рис.). Прямая, параллельная оси ординат, пересечет ocь абсцисс в некоторой точке М; прямая, параллельная оси абсцисс, пересечет ось ординат в некоторой точке Му. Пусть х — координата точки Мх на оси абсцисс и у - координата точки Му на оси ординат, причем отрезки ОМх и ОМу измерены, каждый, масштабной единицей, принятой на соответствующей оси. Очевидно, положение точки М в плоскости вполне определяется положением точек Мх и Му на координатных осях, т. е. числами х и у. Эти числа называются декартовыми координатами точки М, при этом х — абсциссой, a y — ординатой. Параллелограмм ОМхММу, ограниченный осями координат и параллельными им прямыми, проходящими через точку М, называется координатным параллелограммом точки М; его стороны (и в частности отрезки ОМх , ОМу) называются координатными отрезками точки М.

Чтобы указать, что точка М имеет координаты х и у пишут: М(х,у); при этом абсциссу помещают на первом месте, ординату - на втором. Точку с абсциссой х и ординатой у записывают также символом (х, у). Чтобы построить точку (х, у), нужно на оси абсцисс взять точку с координатой х и провести через нее прямую, параллельную оси ординат, далее, на оси ординат взять точку с координатой у и провести через нее прямую, параллельную оси абсцисс; пересечение этих двух прямых и будет точкой (х,у). Таким образом, каждой точке плоскости соот­ветствует вполне определенная упорядоченная пара вещественных чисел (указано, какое из них первое, а какое — второе); и обратно, каждой упорядоченной паре вещественных чисел соответствует вполне определенная точка плоскости. Иными словами, между совокупностью всех точек плоскости и совокупностью всех упорядоченных пар вещественных чисел установлено взаимно однозначное соответствий. Начало координат О имеет координаты 0, 0. У всех точек, лежащих на оси абсцисс, ординаты равны нулю, у всех точек, лежащих на оси ординат, абсциссы равны нулю; первые имеют вид (х, 0), вторые — вид (0, у). Угол, заключенный между положительными полуосями х и у, называется первым координатным углом; угол, заключенный между положительной полуосью у и отрицательной полуосью х, — вторым координатным углом; угол, заключен­ный между отрицательной полуосью х и отрицательной полуосью у, —третьим координатным углам; наконец, угол, заключенный между отрицательной полуосью у и положительной полуосью x, — четвертым координатным углом.

3. Правая и левая системы координат на плоскости.

На рис. изображены два типа взаимного расположения координатных осей на плоскости. Если мы представим себя в роли наблюдателя, стоящего в начале координат и обращенного в сторону положитель­ной полуоси х, то в случае а) ось у будет идти справа налево,

а)

Рис.

а в случае б) — слева направо; В первом случае координатную систему называют правой, во втором левой. Вообще, упорядочен­ную пару пересекающихся направлений на плоскости называют правой, если второе направление пересекает первое справа налево (по отношению к наблюдателю, обращенному в сторону первого на­правления), и левой, если второе направление пересекает первое слева направо. Для того чтобы, поворачивая на наименьший угол, совместить первое направление со вторым, нужно в случае правой пары вращать его против часовой стрелки, а в случае левой пары — по часовой стрелке (черт. 5). Заметим, что, сравнивая направления осей на рис, мы предста­вляли себя находящимися с той стороны плоскости, в которую обра­щен чертеж. Если бы мы перевернули страницу и посмотрели на рис на свет, то ориентации координатных си­стем переменились бы на обратные: правая представилась бы как левая, а левая — как правая.

4. Декартовы координаты в пространстве

Совершенно аналогично вводятся координаты в пространстве. А именно, берутся три координатные оси, пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости. Масштабные единицы на осях, вообще говоря, могут быть опять вы­браны различные. Кроме них, для из­мерения всех длин в пространстве выбирается общая «абсолютная масштабная единица», которой, в частности, измеряются и длины масштабных единиц на осях. В качестве начала отсчета на всех трех осях берется точка их пересечения О (начало координат). Одну из координатных осей называют осью абсцисс (осью х), другую — осью ординат (осью у) и третью — осью аппликат (осью z). Плоскость, проходящая через оси х и у, называется координатной плоскостью ху, плоскость, проходящая через оси у и z,—координатной плоскостью уz и плоскость, проходящая через оси х и z, — координатной плоскостью хz. Для того чтобы задать числами положение точки М в пространстве, проводят через эту точку плоскости, параллельные координатным плоскостям. Плоскость, параллельная координатной плоскости уz, пересечет ось абсцисс в некоторой точке Мх; плоскость, параллельная координатной плоскости xz, пересечет ось ординат в некоторой точке Му; плоскость, параллель­ная координатной плоскости ху, пересечет ось аппликат в некоторой точке Мz. Пусть х, у, z— координаты точек Мх, Му, Мz на соответствующих осях. Положение точки М вполне определяется заданием чисел х, у, z. Эти числа называются декартовыми коор­динатами точки М, при этом х — абсциссой, у — ординатой и z — аппликатой. Параллелепипед OMxMyMzABCM, высекаемый координатными плоскостями и параллельными им плоскостями, проходящими через точку М, называется координатным параллелепипедом точки М; его ребра (и в частности от­резки ОМх, OMy, OMz) называются координатными отрезками точки М. Чтобы указать, что точка М имеет координаты х, у и z, пишут: M{x,y,z); при этом абсциссу поме­щают на первом месте, ординату — на втором и аппликату — на третьем. Точку с абсциссой х, ординатой у и аппликатой z записывают также символом (х,у, z). Таким образом, каждой точке пространства соответствует вполне определенная упорядоченная тройка вещественных чисел; обратно, каждой упорядочен­ной тройке вещественных чисел соответствует вполне определен­ная точка пространства. Иными словами, между совокупностью всех точек пространства и совокупностью всех упорядоченных троек вещественных чисел установлено взаимно однозначное соответствие. Начало координат О имеет координаты 0, 0, 0. Точки оси абсцисс имеют вид (х, 0, 0), точки оси ординат—вид(0, у, 0), точки оси аппликат — вид (0,0, z). Точки координатной плоскости ху имеют вид (х, у, 0), точки координатной плоскости yz — вид (0, у, z), точки координатной плоскости xz — вид (х, 0, z). Коорди­натные плоскости разбивают все пространство на восемь трехгран­ных углов.

5. Правая и левая системы координат в пространстве. На рис. изображены два типа взаимного расположения координатных осей в пространстве. Представим себя в роли наблюдателя, стоящего на плоскости ху с той ее стороны, в которую обращена ось z, и обращенного в сторону положительного направления оси х. Тогда в случае, изображенном на черт. 7, ось у будет, идти справа налево и система координат на плоскости ху будет представляться нам как правая, а в случае, изображенном на черт, 8, ось у будет идти слева направо и система координат на плоскости ху будет представляться нам как левая. В первом случае координатную систему хуz называют правой, во втором — левой.

В случае плоскости обычно пользуются правой системой координат; при этом ocь х чертят горизонтально и поло­жительным направлением на ней считают направление слева на­право; тогда положительным направлением на оси у является направление снизу вверх. В случае пространства пользуются и той и другой системой координат; мы будем пользоваться преимущественно правой.

6. Общие декартовы; косоугольные и прямоугольные коорди­наты. Описанные координаты — как на плоскости, так и в пространстве — называются общими декартовыми координатами. Если масштабные единицы на осях совпадают с выбранной абсолютной масштабной единицей, но углы между осями — не все прямые, то получаем так называемые косоугольные координаты, которыми много пользовались в некоторых прежних курсах аналитической геометрии; мы ими пользоваться совсем не будем. Если, кроме того оси взять взаимно перпендикулярными, то получатся прямоугольные координаты, наиболее часто употребляемые в практике.

Таким образом, прямоугольными координатами называются декар­товы координаты, удовлетворяющие двум условиям: 1) координатные оси взаимно перпендикулярны и 2) масштабные единицы на осях совпадают с абсолютной единицей измерения длин. В наимено­вании этих координат прямоугольными отражено только первое из этих двух условий.

Сложение векторов

Пусть и — два произвольных вектора. Приложим век­тор к концу вектора , то есть совместим начало вектора с концом вектора . Тогда вектор, идущий из начала векто­ра в конец вектора называется суммой векторов и и обозначается + . Такой способ построения суммы двух век­торов называют «правилом треугольника» (рис. ).

Если начало вектора совместить с концом вектора (рис.), то вектор, идущий из начала вектора в конец век­тора , будет вектором суммы + .

Чтобы получить вектор суммы + можно воспользо­ваться также «правилом параллелограмма». В этом случае векторы и приводят к общему началу, строят параллело­грамм на векторах слагаемых, и тогда вектор, выходящий из того же начала и совпадающий по длине и направлению с диагональю построенного параллелограмма будет искомым вектором суммы (рис. ).

Как видно, сумма двух векторов обладает переместительным свойством, то есть + = + .

Понятие суммы двух векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых. Пусть, например, даны три вектора , и и требуется найти их сумму + + . Искомый вектор можно получить, последовательно применяя правило треугольника:

прикладываем вектор к вектору и получаем вектор + ;

вектор ( + ) складываем с вектором и получаем искомый вектор + + (рис. ).

Из рис. видно, что искомый вектор суммы трех векторов можно получить, если к вектору приложить вектор , к век­тору приложить вектор и тогда вектор, идущий от начала первого вектора до конца последнего вектора будет искомым.

Это правило, называемое «правилом многоугольника», остается справедливым при нахождении суммы любого конеч­ного числа векторов. При этом сумма не зависит от порядка слагаемых.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего вектора совпадает с началом первого вектора, то сумма рав­на нуль-вектору.

? Какой особенностью отличается многоугольник векторов, сумма которых равна нулю?

Вычитание векторов

Если даны два вектора и , то разностью — назы­вается такой третий вектор , который в сумме с вектором составляет вектор .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора разности: векторы и приводят к об­щему началу и тогда вектор, идущий от конца вектора к концу вектора будет искомым (рис.).

Вычесть из вектора вектор означает, что к вектору надо прибавить вектор — , то есть — = + (—).

На рис. к вектору приложен вектор — и пользуясь правилом треугольника найдена разность — .

Способ замены вычитания сложением удобен тогда, когда требуется построить алгебраическую сумму нескольких век­торов.

Умножение вектора на число

Пусть дано вектор и чис­ло р. Произведением вектора на число р называется новый вектор , коллинеарный векто­ру а, имеющий длину || = | р ||| и тоже направление, что и вектор , если р>0, и

противоположное направление, если рО, при этом = р = 0, если р = 0 или = 0

На рис. вектор = 2 (число р = 2), а вектор = - (число р = -).

Противоположный вектор – можно рассматривать как результат умножения вектора на р = -1:

- = (-1) .

Так, западный ветер можно представить как отрицательный восточный ветер.

Очевидно, что + (-) = 0.

Из определения произведения вектора на число следуют свойство этого произведения:

= p b ||