1 Визначники та їх властивості

Визначник 2-го порядку: число що дорівнює:

A₁₁ A₁₂

A₂₁ A₂₂ = A₁₁*A₂₂-A₁₂*A₂₁

Визначник 3-го порядку визначається за правилом трикутника: число що дорівнює:

A₁₁ A₁₂ A₁₃

A₂₁ A₂₂ A₂₃

A₃₁ A₃₂ A₃₃ = A₁₁ A₂₂ A₃₃ + A₁₂ A₂₃ A₃₁ + A₂₁ A₃₂ A₁₃ – A₁₃ A₂₂ A₃₁ – A₁₂ A₂₁ A₃₃ – A₁₁ A₂₃ A₃₂

Властивості визначників довільного порядку:

1. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється.

Властивість 1 називають властивістю рівноправності рядків і стовпців. Це означає, що всяка властивість визначника для рядків

правильна і для стовців.

2. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю, то такий визначник дорівнює нулю.

3. Якщо елементи i-го рядка матриці A записані як сума двох доданків, то визначник цієї матриці дорівнює сумі двох визначників, матриці які відрізняються від A тільки i-тим рядком, причому елементи i-го рядка першого визначника складені з відповідних перших доданків i-го рядка матриці A, а елементи i-го рядка другого визначника - з відповідних других доданків.

4. Якщо визначник має два однакових рядка, то він дорівнює нулю.

5. Якщо в матриці поміняти місцями два рядка, то її визначник змінить знак на протилежний.

6. Якщо всі елементи деякого рядка визначника мають спільний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.

7. Визначник, в якого відповідні елементи двох рядків пропорційні, дорівнює нулю.

8. Визначник не змінюється, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи другого рядка, помножені на одне й те самечисло.

Алгебраїчним доповненням елемента матриці називатимемо визначник, одержаний з матриці заміною цього елемента на 1, а елементів рядка та стовпця, в яких знаходився елемент, на нулі. Алгебраїчне доповнення елемента a_ij матриці

A=(a_ij) позначають A_ij.

9. Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка на відповідні алгебраїчні доповнення. =a_i1A_i1++a_ikA_ik+…+a_inA_in.

Мінором елемента квадратної матриці називають детермінант матриці, утвореної після викреслювання рядка та стовпця, в

якому знаходився елемент. Мінор елемента aij позначають M_ij.

Теорема 2. A_ij=(−1)i+jM_ij

Теорема 3. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів цих матриць.

Теорема 4. Сума добутків елементів будь-якого рядка матриці на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка цієї матриці дорівнює нулю.

2 Матриці та дії над ними

[Матрицею розміру MxN називається сукупність чисел a_ij записаних у вигляді прямокутної таблиці з М-рядками і N-стовпчиками]

Матриця позначається: А,В,С;

А=(a_ij) j=1,n; i=1,m;

Елементи матриці a_ij мають подвійну нумерацію i-номер рядка; j-номер стопчика;

[Матриця є квадратичною якщо кількість рядків і стовпців однакові]

В квадратичній матриці елементи a_ii назив. діагональними (утвор. головну діагональ).

A₁₁ ,A₂₂ , A₃₃ – головна діагональ.

A_1n ,A_2,n-1 ,A_3,n-2 ,…,A_n1 – побічна діагональ.

[Квадр. Матриця є діагональною якщо в ній всі елементи, крім тих що стоять на головній діагоналі,=0]

[Діагон.матриця називається одиночною, коли в ній всі діагональні елементи=1.]

[Матриця назив. верхньотрикутною якщо в ній всі елементи, що під головною діагон.=0. Є ще нижньотрикутна: під діагоналлю=0.]

[Матриця A^T називається транспонованою до А, якщо рядки А є стовцями A^T і навпаки].

Над матрицями можна виконувати певні дії, які, по аналогії з числами, назива-ють додаванням, відніманням, множенням. Існують також дії, які визначені лише для матриць. Введемо правила виконання дій над матрицями.

1. Матриці вважають рівними, якщо вони одного й того ж типу, тобто мають однакоку кількість стрічок та стовщів, і відповідні елементи рівні, тобто матрщі А— (а), В= (b.) рівні (А=В),якщо а..—b..

2.Сумою двох матриць А=(а) та В=(b) однакового типуназивають матрицю С=(с.) тогож типу, елементи якої рівні сумам відповідих елементів матриць А та В, тобто с = а +Ь. Властивості діїдодавання матриць: А+(В+С)=(А+В)+С; А+В=В+А; А+0=А.

3.Аналогічно визначають різницю матриць;

4.Добутком матриці А=(а) на число к, (або добугком числа на матрицю) називають матрицю, елементи якої одержані множенням елементів матриці А на число к: кА = Ак. 1*А=А; 0*А=0; с(рА)=(ср)А; (с +р)А =сА +рА; с (A +В)=сА +сВ. Якщо кількість стовпців матриці А(кхп) рівна числу стрічок матриці В(пх р), то для них визначена матриця С(кх р ), яку називають їх добугком. Елементи матриці С знаходять за наступним правилом: елемент с. рівний сумі попарних добутків елементів і-ої стрічки матриціA та j-ого стовпця матриціВ.

5.Матриця (-1)А—-А називається протилежноюдляА. (Якщо матриці відрізняються лише знаками своіх елементів, то їх називають протилежними).