Означення та геометричний та фізичнй зміст похідної функції однієї змінної
Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.
Визначення:
Нехай в деякому
околі точки x0
визначена функція f.
Якщо ми візьмемо довільне число x
в цьому околі, то приріст аргументу
(позначається Δx)
в цьому випадку визначається як x−x0,
а приріст функції (Δy)
— як f(x)−f(x0).
Тоді, якщо існує границя
,
то вона називається похідною функції
f
в точці x0.
Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.
Геометричний зміст похідної
Значення похідної f ’(x0) функції f у точці x0 дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої y=f(x) у точці з абсцисою x0. Рівняння дотичної до кривої y=f(x) у точці M(x0,y0) має вигляд:y=f ’(x0)(x-x0)+f(x0).
Фізичний зміст похідної. Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється за законом S = S(t), то швидкість її руху v(t) у момент t дорівнює похідній S'(t):
v(t) = S'(t).
2. Правила обчислення похідних.
Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференційному численні. У цій статті міститься список похідних багатьох функцій.
У цих формулах х - змінна, f - функція цієї змінної. u і v — довільні функції, що диференціюються, а с — константа. Цих правил і формул достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.
Загальні правила знаходження похідних
Константа
Сума і
різниця похідних
,
Похідна
від добутку і частки
,
Похідна
від складної функції
Таблиця похідних
3. Означення диференціалу функції та його застосування до наближених обчислень
Диференціалом функції у = f(х) (або диференціалом першого порядку) називається добуток похідної цієї функції f'(х) на довільний приріст аргументу Dx:
dy = f'(х) Dх.
Диференціал аргументу дорівнює приросту аргументу: dx = Dx. Тому диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал аргументу:
dy =f'(x) dx.
Застосування диференціала для наближених обчислень
З
означення диференціала функції
випливає,
що при достатньо малих
і
має
місце наближена рівність
Оскільки
повний приріст
,
рівність (2.6)
можна переписати в наступному вигляді:
4. Диференціали та похідні вищих порядків, правила їх обчислення.
Нехай
функція
разів диференційована на проміжку Х.
Тоді у кожній точці
існує, зокрема, її диференціал
,
який надалі називатимемо також
диференціалом
першого порядку функції
.
Оскільки приріст аргументу
величина стала, то
є функцією однієї змінної х.
Диференціал цієї функції називатимемо
диференціалом
другого порядку функції
і будемо позначати
або
.
Отже, за визначенням,
.
Далі маємо
І, нарешті, якщо
для функції
означено диференціал
-го
порядку
,
то диференціалом n-го порядку
функції
називається диференціал першого
порядку від диференціала
-го
порядку, тобто
За індукцією ясно, що
З останньої формули випливає, що при довільному n
тобто
похідну n-го
порядку функції
можна
представити як відношення її диференціала
n-го
порядку до n-го
ступеню диференціала аргументу.
Зауваження.
Диференціали n-го
порядку
вже не мають властивості інваріантності
форми. Дійсно, вже при
,
з одного боку, якщо
- незалежна змінна, маємо
.
З іншого, для складної функції
,
де
,
маємо
де
Оперуючи
з диференціалами, зручно обчислювати
похідні вищих порядків від функції,
заданої параметрично за допомогою двох
функцій
.