Методические указания к решению типовой задачи

Экономическая постановка задачи.

Задана экономическая система – фирма, которая оказывает услуги двух видов при наличии четырех видов ресурсов. Объем фирмы от реализации услуг двух видов должен быть максимальным. Количество затрачиваемых ресурсов (труд, оборудование, сырье двух видов) на производство услуг не должно превышать наличного объема

Оптимальна ли производственная программа, предусматривающая оказание услуг первого вида в количестве 10 ед., второго – в количестве 50 ед.

Экономико – математическая модель прямой задачи

– количество услуг первого вида, ед.;

– количество услуг второго вида, ед.

.

Экономико – математический анализ оптимальной производственной программы

Выясним, как используются ресурсы в оптимальном плане, подставив значения и в систему ограничений по ресурсам.

– труд используется полностью;

– оборудование недоиспользуется;

– сырье первого вида используется полностью;

– сырье второго вида недоиспользуется.

Экономико – математическая модель двойственной задачи

одного ;

одной машиносмены;

;

.

– стоимостная оценка затрачиваемых ресурсов должна быть минимальной (руб.).

– стоимостная оценка затрачиваемых ресурсов на производство единицы услуги каждого вида должна быть не меньше цены реализации единицы услуги.

.

Расчет оптимального плана двойственной задачи и вывод об оптимальности производственной программы

В соответствии с первой частью второй теоремы двойственности, поскольку ресурсы труда и сырье первого вида используются полностью, они являются дефицитными исходя из конкретных условий задачи, а потому их оценки положительны, т.е. . Поскольку оборудование и сырье второго вида недоиспользуются, они являются недефицитными ресурсами, а потому их оценки равны нулю, т.е. .

В соответствии со второй частью второй теоремы двойственности если услуги первого и второго видов эффективны (), то для них цена производства равна цене реализации, т.е.

Поскольку , то

Расчет значений целевых функций прямой и двойственной задач

Поскольку , то план является оптимальным, т.к. выполняется первая теорема двойственности.

Замечания к решению.

а). Этапы экономико – математического анализа оптимальной производственной программы фирмы (оптимального плана).

1. Анализ использования ресурсов в оптимальном плане прямой задачи.

2. Построение экономико – математической модели двойственной задачи.

3. Расчет оптимального плана двойственной задачи.

4. Расчет значений целевых функций прямой и двойственной задач.

б). Некоторые выводы по результатам экономико – математического анализа оптимальной производственной программы фирмы (оптимального плана):

1. оценку получают только те ресурсы, которые в оптимальном плане прямой задачи используются полностью (дефицитны);

2. оценка недефицитных ресурсов равна нулю;

3. если тот или иной вид услуги (продукции) включен в оптимальную производственную программу (оптимальный план), то для него ограничения двойственной задачи выполняются как строгие равенства, а, следовательно, цена производства единицы услуги (продукции) равна цене ее реализации;

4. цена производства в модели оптимизации - стоимостная оценка затрачиваемых ресурсов на производство единицы услуги (продукции).

Задача 6.4.

Экономическая постановка задачи.

Задана экономическая система – фирма.

Постройте экономико – математическую модель по приведенной ниже входной информации. Критерий деятельности фирмы – прибыль.

Докажите, что производственная программа фирмы, включающая производство продукции первого вида в количестве 40 ед. и второго вида - в количестве 40 ед. является оптимальной. Приведите экономическую интерпретацию каждого этапа доказательства.

Рассчитайте оценки ресурсов, используемых для производства оптимальной производственной программы.