Моделирование оптимальной производственной программы фирмы прямая и двойственная модели оптимизации (озлп)

Каждой модели оптимизируемой экономической системы можно поставить в соответствие некоторую другую модель этой же системы, называемую двойственной по отношению к исходной.

Общая (прямая) модель оптимизации, состоящая в нахождении максимума функции имеет вид

(3.1) – целевая функция прямой задачи

при ограничениях

(3.2)

(3.3)

Двойственная модель оптимизации, состоящая в нахождении минимума функции имеет вид

(3.4) – целевая функция двойственной задачи

при ограничениях

(3.5)

(3.6)

Как видно, между прямой и двойственной моделью имеется взаимно однозначное соответствие. Правило составления двойственной модели и теоретические основы см. в (…).

Для прямой задачи.

Определение 1. Вектор , удовлетворяющий условиям (3.2),(3.3), называется допустимым решением прямой ОЗЛП.

Число допустимых решений бесконечно. Поэтому от множества допустимых решений переходим к множеству допустимых базисных решений ОЗЛП.

Определение 2. Вектор , определяющий множество допустимых базисных решений и удовлетворяющий условиям (3.4),(3.5),(3.6), называется оптимальным решением прямой ОЗЛП.

Определение 3. Допустимым базисным решениям соответствуют угловые точки выпуклого многогранника допустимых решений. Их число конечно.

На плоскости (при n = 2 ) – многоугольник допустимых решений.

Для двойственной задачи

Определение 4. Вектор , определяющий множество допустимых базисных решений и удовлетворяющий условиям (3.1),(3.2),(3.3), называется оптимальным решением двойственной ОЗЛП.

Экономическая интерпретация - вектор продуктов, услуг. определяющих производственную программу фирмы.

Экономическая интерпретация - вектор оценок ресурсов, затрачиваемых фирмой для выпуска оптимального набора продуктов, услуг.

Поскольку в ОЗЛП все ресурсы ограничены. оценки ограниченных ресурсов = двойственные оценки ограниченных ресурсов.

Реализация экономико – математической модели оптимальной производственной программы фирмы

1. симплексным методом (универсальным)

2. графическим методом при n = 2

Симплекс - метод – позволяет осуществить упорядоченный перебор допустимых базисных решений (вершин многогранника допустимых решений) и установить, является ли найденное решение оптимальным, т.е. достигнут ли в этой вершине (плане) максимум целевой функции.

Если план не оптимален, то производится в соответствии с алгоритмом переход к такой соседней вершине многогранника допустимых решений (допустимому базисному решению), которое обеспечивает большее(или по крайней мере равное предыдущему) значение целевой функции.

ЗАДАНИЕ. Расчетные работы, выполняемые для проверки знаний по дисциплинам «Экономико – математическое моделирование», «Экономико – математические модели»

Задача 6.1.

Экономическая постановка задачи.

Задана экономическая система – завод по производству электронного оборудования, выпускающий персональные компьютеры и системы подготовки текстов. Освоены четыре модели:

«Юпитер» - объем памяти 512 кбайт, одинарный дисковод;

«Венера» - объем памяти 512 кбайт, двойной дисковод;

«Марс» - объем памяти 640 кбайт, двойной дисковод;

«Сатурн» - объем памяти 640 кбайт, жесткий диск.

В производственный процесс вовлечены три цеха завода – цех узловой сборки, сборочный и испытательный цеха. Распределение времени, требуемого для обработки каждой модели в каждом цехе, а также максимальные производственные мощности цехов приведены в таблице.

Входная информация

цех	время на единицу изделия, час.				максимальная производственная мощность, час./мес.
	«Юпитер»	«Венера»	«Марс»	«Сатурн»
узловой сборки	5	8	20	25	800
сборочный	2	3	8	14	420
испытательный	0,1	0,2	2	4	150
Максимальное прогнозное значение спроса за месяц, ед.	100	45	25	20
доход, ф. ст.	15	30	120	130

Отдел исследований рынка производит периодическую оценку потребительского спроса на каждую модель. Максимальные прогнозные значения спроса и дохода от реализации единицы изделия по каждой модели также приведены в таблице.

Построить экономико – математическую модель для реализации проблемы производства изделий в ассортименте, если цель состоит в максимизации общего ежемесячного дохода завода.

Привести ее экономическую интерпретацию.

Задача 6.2.

Экономическая постановка задачи.

Задана экономическая система – фирма. Менеджер по ценным бумагам намерен разместить 100000 ф.ст. капитала таким образом, чтобы получить максимальные годовые проценты с дохода. Его выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций: А, В, С, D.

Объект А позволяет получить 6 % годовых,

объект В позволяет получить 8 % годовых,

объект С позволяет получить 10 % годовых,

объект D позволяет получить 9 % годовых.

Для всех четырех объектов инвестиций степень риска и условия размещения капитала различны.

Чтобы не подвергать риску имеющийся капитал, менеджер принял решение, что не менее половины инвестиций необходимо вложить в объекты А и В.

Чтобы обеспечить ликвидность, не менее 25 % общей суммы капитала нужно поместить в объект D.

Учитывая возможные изменения в политике правительства, предусматривается, что в объект С следует вкладывать не более 20 % инвестиций.

Хотя особенности налоговой политики требуют, чтобы в объект А было вложено не менее 30 % капитала.

Построить экономико – математическую модель для изложенной проблемы распределения инвестиций.

Привести ее экономическую интерпретацию.

Задача 6.3.

Экономическая постановка задачи.

Задана экономическая система – фирма, которая оказывает услуги двух видов, затрачивает на это три вида ресурсов: труд, сырье, оборудование. Критерий эффективности деятельности фирмы – объем реализации услуг.

Рассчитать

производственную программу фирмы, которая позволяет получить объем от реализации услуг при выполнении ограничений на ресурсы - максимальный;

оценки ресурсов каждого вида.

Входная информация:

- прейскурантная цена реализации единицы услуги первого вида – 3 ден. ед., услуги второго вида – 2 ден. ед.;

- предельные объемы труда – 20 тыс. чел. дней., сырья – 8 тыс. ед., оборудования = 14 тыс. машиносмен.;

- нормативы затрат ресурсов на производство услуги каждого вида представлены в таблице

ресурс	единица услуги первого вида	единица услуги второго вида
труд	1	4
сырье	1	1
оборудование	2	1

Экономико – математическая модель

1. переменные

- количество услуг первого вида,

- количество услуг второго вида.

2. ограничения

на ресурсы:

на услуги:

3. целевая функция

Методические указания.

1.Расчет оптимальной производственной программы фирмы провести

на основе графического метода, а затем – симплексного метода (сравнить результаты решения).

2. Оценку ресурсов каждого вида провести с применением свойств двойственных оценок ресурсов, используемых в оптимальной производственной программе фирмы на основе экономико – математической модели двойственной задачи (построить самостоятельно).

3. Привести экономическую интерпретацию экономико – математических моделей и результатов решения прямой и двойственной к ней задач.

X

Графический метод

решения ОЗЛП

₂

14

12

10

8

6

4

2

2 4 6 8 10 20 X₁