- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •2. Числовые последовательности
- •3. Понятие функции. Предел и непрерывность функции
- •Методы раскрытия неопределённостей при вычислении пределов функций
- •Эквивалентные бесконечно малые величины
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
- •Классификация точек разрыва
- •4. Производная и дифференциал функции
- •Правила дифференцирования
- •Дифференциал функции
- •Производные высших порядков
- •Применение производной в экономике. Эластичность функции
- •5. Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функций. Локальный экстремум функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции
- •Асимптоты графика функции
- •Исследование функций и построение графиков
- •Примерные варианты контрольной работы № 1 по математическому анализу
- •6. Неопределённый интеграл Первообразная. Неопределённый интеграл
- •Основные методы интегрирования Метод разложения
- •Метод замены переменной. Подведение под знак дифференциала
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование дробно-рациональных выражений
- •Метод неопределённых коэффициентов
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
3. Понятие функции. Предел и непрерывность функции
Если определенному элементу х из множества Х ставится в соответствие определенный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция .
При этом величина y называется зависимой переменной, а x- независимой переменной или аргументом. Множество Х называют областью определения функции и обозначают D(f) = X, а множество Y чисел y = f(x) называют множеством значений функции и обозначают E(f) = Y.
Функция называется четной, если она определена на симметричном относительно начала координат промежутке и выполняется f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x).
Функция называется периодической с периодом T, если f(x) = f(x + Tn),
Пусть заданы функции y = f(u) на U и u = g(x) на X. Их композицией (или сложной функцией, полученной последовательным применением функций g и f) называется функция y = f(g(x)),
Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки кроме, быть может, самой этой точки. Число а называется пределом функции f(x) в точке (или при если для любого числа найдется число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство
Обозначается:
Пример 1. Найти односторонние пределы функции в точке .
Решение. Вычислим пределы функции в точке слева и справа, т.е.
и .
При :
.
При :
.
Пример 2. Найти односторонние пределы функции в точке .
Решение. Вычислим пределы и .
При :
- под знаком квадратного корня отрицательное число левосторонний предел не существует.
При :
.
Методы раскрытия неопределённостей при вычислении пределов функций
● Неопределённость .
Примеры:
1. Вычислить
Решение. Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на (x – 1). Сокращение возможно, так как при но
2. Вычислить
Решение. Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь так, чтобы сократить её на множитель, стремящийся к нулю (на x). Для этого уничтожим иррациональность в числителе, умножая числитель и знаменатель на выражение , сопряжённое с числителем. Затем сокращаем дробь на x:
● Неопределённость .
Примеры:
1. Вычислить:
Решение. Имеем неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на , (- наибольшая степень переменной х), получим: .
Так как выражение в числителе стремится к 1, а знаменатель – бесконечно малая величина, значит, их отношение есть величина бесконечно большая.
Если требуется вычислить предел отношения двух многочленов , где n – максимальная степень числителя, m – максимальная степень знаменателя, и при этом возникает неопределённость , то:
-
предел равен 0, если n < m;
-
предел равен ∞, если n > m;
-
предел отношению коэффициентов при максимальных степенях числителя и знаменателя , если n = m.
2. Вычислить .
Решение. При вычислении возникает неопределённость , максимальная степень числителя n = 10, максимальная степень знаменателя m = 10, следовательно предел равен отношению коэффициентов, стоящих при этих степенях: .
3. Вычислить .
Решение. , , n > m .
4. Вычислить .
Решение. , , n < m .
● Неопределённость .
Примеры:
1. Вычислить
Решение. Имеем неопределённость вида ,так как ,
Воспользуемся вторым замечательным пределом. Представим дробь в виде суммы 1 и бесконечно малой функции:
2. Вычислить .
Решение. Воспользуемся формулой следствия из второго замечательного предела : .
3. Вычислить .
Решение. Воспользуемся формулой следствия из второго замечательного предела : .
● Неопределённость .
Примеры:
1. Вычислить .
Решение.
2. Вычислить .
Решение. Умножим и разделим данное выражение на сопряжённое:
● Неопределённость .
Примеры:
1. Вычислить .
Решение. Представим переменную х как и воспользуемся первым замечательным пределом, заменив на новую переменную t: .
2. Вычислить .
Решение. Так как , то . Заменим на новую переменную и воспользуемся следствием из первого замечательного предела :