3. Моменты распределения Показатели формы распределения

3.1. Моменты распределения

Для подробного описания особенностей распределения используют дополнительные характеристики – моменты распределения.

Момент распределения k-го порядка – средняя величина отклонений k-й степени от некоторой постоянной величины А:

. (3.1)

Практически используют моменты первых четырех порядков. Если А = , то моменты центральные; А = 0, то моменты начальные; А – произвольное число, то моменты условные.

Начальные моменты	Центральные моменты	Нормированные моменты
(3.2) m0 = 1; m1 – средняя арифметическая ()	(3.3) = 1; = 0 – средний квадрат отклонений, дисперсия (s2)	(3.4) μ0=1; μ1=0; μ2=1; – показатель асимметрии

3.2. Показатели формы распределения

Нормированный момент третьего порядка является показателем асимметрии распределения :

. (3.5)

Степень существенности асимметрии характеризуется средней квадратической ошибкой, которая зависит от объема наблюдения:

, (3.6)

Если , то асимметрия существенна.

При симметричном распределении варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту, поэтому = 0, а следовательно, и μ3=0.

Если μ3 < 0, то в вариационном ряду преобладают (имеют большую частоту) варианты, которые меньше , т.е. ряд отрицательно ассиметричен (или с левосторонней скошенностью – более длинная ветвь влево). Положительная асимметрия (правосторонняя скошенность – более длинная ветвь вправо) характеризуется значением μ₃ > 0 (рис. 2.1). В качестве показателя асимметрии применяется и коэффициент асимметрии Пирсона (As):

. (3.7)

Если As= 0, (т.е. ), то распределение симметричное (нормальное).

Если As < 0, то имеет место левосторонняя асимметрия.

Если As > 0,то имеет место правосторонняя асимметрия.

Если |As| > 0,25, то асимметрия значительна; если |As| < 0,25 – незначительна.

Рис. 2.1 Асимметрия распределения

Нормированный момент четвертого порядка характеризует крутизну (заостренность) графика распределения:

. (3.8)

Для нормального распределения μ₄ = 3, поэтому для оценки крутизны исследуемого распределения в сравнении с нормальным из μ₄ вычитается 3 и таким образом рассчитывается показатель эксцесса:

. (3.9)

Если Ex = 0, то распределение симметрично;

Ex > 0, то распределение островершинное;

Ex < 0, то распределение плосковершинное (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Эксцесс распределения

3.3. Теоретические кривые распределения

Анализ вариационных рядов предполагает выявление закономерностей распределения, определение и построение (получение) некой теоретической (вероятностной) формы распределения. Характер распределения лучше всего проявляется при большом числе наблюдений и малых интервалах. В этом случае графическое отображение эмпирического вариационного ряда принимает вид плавной кривой, именуемой кривой распределения. Кривая распределения может рассматриваться как некая теоретическая (вероятностная) форма распределения, свойственная определенной совокупности в конкретных условиях.

Таким образом, анализируя частоты в эмпирическом распределении, можно описать его с помощью математической модели – закона распределения, установить по исходным данным параметры теоретической кривой и проверить правильность выдвинутой гипотезы и типе распределения данного ряда.

При исследовании закономерностей распределения очень важно выдвинуть верную гипотезу о типе кривой распределения, так как, если кривая описана математически (с помощью уравнения) верно, она более точно отражает закономерности данного распределения и может быть использована в различных практических расчетах и прогнозах. Кроме того, в этом случае можно сформулировать рекомендации для принятия практических решений.

Теоретическое распределение случайной величины – это математическое выражение функциональной зависимости значений случайной величины  x и вероятности ее попадания в соответствующий интервал.

Для построения функции теоретического распределения необходимо знать и s и обосновать вид кривой из сведений об экономическом явлении или процессе. Рассмотрим только нормальное распределение, поскольку именно оно наиболее широко применяется при построении статистических моделей.

Распределение непрерывной случайной величины x называют нормальным, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

,

(3.10)

или ,

где x – значение изучаемого признака;

– средняя арифметическая ряда;

s² – дисперсия значений изучаемого признака;

s – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

π = 3,1415926; е = 2,7182;

– нормированное отклонение.

Кривая нормального распределения (рис. 3.3) симметрична относительно вертикальной прямой , поэтому среднюю арифметическую ряда называют центром распределения.

Случайные величины, распределенные по нормальному закону, различаются значениями параметров и s, поэтому важно выяснить, как эти параметры влияют на вид кривой нормального распределения.

Если не меняется, а изменяется только s, то:

1. чем меньше s, тем более вытянута кривая (рис. 3.3, а), а так как площадь, ограниченная осью и данной кривой, равна 1, то вытягивание вверх компенсируется сжатием около центра распределения и более быстрым приближением кривой к оси абсцисс;

2. чем больше s, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая.

Если s остается неизменной, а изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты (рис 3.3, б).

Особенности кривой нормального распределения.

1. Кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответствующей значению .

2. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Чем больше отдельные значения x отклоняются от , тем реже они встречаются.

3. Кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ±s от .

4. Площадь между ординатами, проведенными на расстоянии ±s (заштрихованная область на рис 3.3, б), составляет 0,683. Это означает, что 68,3% всех исследуемых единиц (частот) отклоняется от средней арифметической не более, чем на s, т.е. находится в пределах ±s. В промежутке ±2s находится 95,4%, а в промежутке ±3s соответственно, 99,7% всех единиц исследуемой совокупности.

5. Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

б)

Рис. 3.3 Кривые нормального распределения