Лабораторна робота №2. Обчислення визначеного інтегралу

Мета роботи: вивчити методи чисельного інтегрування; скласти програму обчислення визначеного інтегралу чисельними методами; дослідити залежність точності розрахунку інтегралу від кількості проміжків розбиття інтервалу інтегрування.

Хід виконання роботи:

1. Вивчити методи чисельного обчислення визначеного інтегралу, графічне пояснення алгоритмів розрахунку інтеграла (наприклад, Г.М.Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", том ІІ, М., 1969г., стр.153-159).

2. Скласти алгоритми обрахунку визначеного інтеграла кожним методом.

3. Скласти програму обчислення інтеграла трьома методами; підінтегральну функцію записати окремою функцією в програмі.

4. Налагодити програму для самостійно обраної функції (наприклад, для функції у(х)=х, у=const, y=x² тощо) з відомим значенням інтеграла.

5. Виконати розрахунки для функції за варіантом при різних значеннях кількості проміжків n (наприклад n=30, n=100, n=1000, n=10000).

6. Виконати розрахунок кількості проміжків N, при якій значення інтегралів I1 (при кількості проміжків N) та I2 (при кількості проміжків N+2) відрізняються не більше ніж на задану похибку ε (похибку обирати в межах 10^-5≤ε≤10^-3).

7. Підготувати звіт.

Реалізувати всі 3 метода та можливість вибору методу для розрахунку.

Для реалізації вибору потрібної кількості проміжків розбиття по заданій точності (п.6) використовується наступний алгоритм:

• обчислюється інтеграл при початковій кількості проміжків розбиття і його значення зберігається (І1);

• кількість проміжків збільшується на 2;

• знов обчислюється інтеграл та нове значення теж зберігається (І2);

• розраховується похибка обчислення (модуль |І1-І2|) і порівнюється із заданою похибкою ε. Якщо |І1-І2|≤ε , то розрахунок закінчується, а кількість проміжків N є шуканою кількістю проміжків. Якщо |І1-І2|>ε, то розрахунок починається з початку (знову обчислюється I1, збільшується n, обчислюється I2, розраховується похибка і т.д.).

В програмі потрібно створити меню для вибору метода.

Вхідні дані: ліва та права межі інтегрування, кількість проміжків розбиття, похибка обчислення інтеграла (всі значення вводяться з клавіатури).

Вихідні дані: початкові дані, значення інтеграла при заданій кількості проміжків, кількість проміжків, при якій зміна значення інтеграла не перевищує заданої похибки.

Зміст звіту:

1. Мета роботи.

2. Алгоритм кожного метода.

3. Задана функція та вхідні дані; обрахований вручну інтеграл (в символьному вигляді та чисельне значення).

4. Таблиця з результатами обрахунків заданого інтеграла трьома методами при 4-5 кількостях проміжків:

Метод	n=...	n=...	n=...	n=...	N
Лівих прямокутників
Правих прямокутників
Трапецій
Парабол

5. Кількість проміжків розбиття N для отримання необхідної похибки обчислення інтегралів для кожного з методів (останній стовпчик таблиці).

6. Висновки щодо точності та швидкодії (кількості ітерацій) кожного з методів.