7. Теорема Коши.
Теорема Коши. Пусть
R
– функции непрерывные на
и дифференцируемые на
;
кроме того, пусть
при всех
.
Тогда
и существует
такое, что
.
Доказательство.
Поскольку по теореме Лагранжа
для некоторого
,
имеем
.
Положим
,
и рассмотрим функцию
.
Тогда функция
непрерывна на
и дифференцируема на
;
кроме того
Следовательно,
и по теореме Ролля существует
такое, что
.
Это значит, что
,
то есть
,
что и требовалось.
8. Правило Лопиталя.
Теорема. Пусть
R,
причем функции
и
дифференцируемы на
,
и при любом
и
.
Предположим, что существуют пределы
функций
и
при
,
причем либо
,
либо
.
Тогда
в случае, если последний предел
существует, конечный или бесконечный.
Доказательство.
Мы приведем доказательство теоремы
только при условии, что
и
R
(т. е.
).
Пусть
.
Доопределим функции
и
в точке
,
положив
.
Тогда функции
и
становятся непрерывными в точке
,
и для каждого
мы можем записать, используя теорему
Коши:
для некоторого
.
Ясно, что
зависит от
:
,
причем
,
откуда
и
(в силу свойств предела функции).
Следовательно,
,
теорема доказана.