3. Теорема Ролля.

Теорема Ролля. Пусть R - функция, непрерывная на и дифференцируемая на , причем . Тогда существует точка , такая, что .

Замечание. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что в некоторой точке касательная к графику параллельна оси . Механический же смысл в том, что если в моменты времени и точка, движущаяся прямолинейно, оказалась в одном и том же положении на прямой, то в какой-то момент времени между и ее мгновенная скорость равнялась нулю, т.е. точка останавливалась.

Доказательство теоремы Ролля. Предположим противное: при всех . По теореме Вейерштрасса принимает на свое наибольшее и наименьшее значения. Поскольку критических точек и точек недифференцируемости нет, наибольшее и наименьшее значения функция может принимать только на концах промежутка. Учитывая, что , видим, что функция постоянна: =const. Следовательно, для всех – противоречие. Теорема Роля доказана.

4. Следствие о количестве решений «производного уравнения».

Предложение. Пусть функции и заданы и непрерывны на промежутке , и дифференцируемы на интервале . Предположим, что уравнение имеет корней на , где N или . Тогда уравнение имеет не более, чем корень на .

Доказательство. Предположим противное – что уравнение имеет на хотя бы различных корня :.

Пусть .

Для каждого имеем . Следовательно, уравнение имеет по теореме Роля корень на каждом из промежутков , , … , . Значит уравнение имеет на исходном промежутке не менее, чем корень, что противоречит условию. Предложение доказано.

5. Теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Пусть функция R дифференцируема на и непрерывна на . Тогда существует точка такая, что .

Замечание. – это угловой коэффициент касательной к графику в точке . Теорема утверждает, что в некоторой точке угловой коэффициент касательной к графику совпадает с угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки графика с абсциссами и . Таким образом, существует точка, касательная в которой параллельна секущей. В этом геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Доказательство теоремы Лагранжа. Пусть , где . Тогда . Следовательно, и по теореме Ролля существует точка такая, что . Поскольку , имеем , что и требовалось. Теорема доказана.

6. Дифференциальный критерий монотонности (следствие теоремы Лагранжа).

Приведем сначала для справок определения, связанные с понятием монотонности функции и некоторые замечания.

Определение. Функция называется строго возрастающей, если для любых , из ее области определения из неравенства следует, что .

Если при тех же условиях выполняет лишь более слабое неравенство , то функция называется нестрого возрастающей или просто «возрастающей» Аналогично определяются понятия убывающей и строго убывающей функций. Функция называется монотонной, если она является возрастающей или убывающей, определение строгой монотонности аналогично..

Замечание 1. Строгое возрастание функции равносильно тому, что для любых таких, что (доказательство предоставляется читателю).

Замечание 2. Функция строго возрастает на промежутке тогда и только тогда, когда возрастает на и не является постоянной ни на каком меньшем промежутке , содержащемся в . Действительно, если строго возрастает, то ее нестрогое возрастание и непостоянство очевидны. Обратно: если возрастает и , то . Однако, равенство возможно только, если функция постоянна на , ибо при имеем . Таким образом, если не постоянна ни на каком интервале и возрастает на , то строго возрастает на .

Теорема (дифференциальный критерий монотонности). Пусть функция R непрерывна на и дифференцируема на . Тогда

1) возрастает на тогда и только тогда, когда для всех ; (критерий убывания аналогичен);

2) постоянна на тогда и только тогда, когда для всех ( т. е. на );

3) строго возрастает на тогда и только тогда, когда на и не обращается в 0 тождественно ни на одном промежутке

Доказательство. 1) Если на , то для любых , из при имеем (по теореме Лагранжа): для некоторого , лежащего между и; следовательно, и значит функция возрастает (по замечанию 1).

Обратно, если возрастает, то для всех при . Переходя в указанном неравенстве к пределу при , получаем при любом . Утверждение 1) доказано.

2) Очевидно, что функция постоянна на промежутке тогда и только тогда, когда возрастает и убывает на нем одновременно. Это равносильно тому, что и одновременно для всех , то есть на .

3) Согласно утверждениям 1) и 2) условия на и на при любых из эквивалентны тому, что возрастает на и не является постоянной ни на каком ; по замечанию 2 это эквивалентно строгому возрастанию .

Замечание. Условие для всех влечет строгое возрастание в силу утверждения 3), но обратное не верно. Например, функция строго возрастает на R, хотя ; аналогично, строго возрастающей является функция , хотя ее производная бесконечно много раз обращается в нуль ( строгое возрастание этой функции, в силу утверждения 3, следует из того, что производная неотрицательна и очевидно не обращается в 0 тождественно ни на одном промежутке).