- •Часть 1. Определение и арифметические свойства производной.
- •Часть 2. Французские теоремы и исследование функций с помощью производной.
- •1. Локальный экстремум и теорема Ферма.
- •2. Следствие о точках подозрительных на экстремум.
- •3. Теорема Ролля.
- •4. Следствие о количестве решений «производного уравнения».
- •5. Теорема Лагранжа.
- •6. Дифференциальный критерий монотонности (следствие теоремы Лагранжа).
- •7. Теорема Коши.
- •8. Правило Лопиталя.
Вопросы к теоретическому зачету по математическому анализу.
Часть 1. Определение и арифметические свойства производной.
1. Определение производной функции в точке. Понятие дифференцируемости функции в точке и на промежутке.
2. Геометрический и физический смысл производной. Понятие касательной. Уравнение касательной.
3. Связь понятий дифференцируемости и непрерывности.
4. Формулы, выражающие связь понятий предела и производной.
5. Производные элементарных функций.
6. Производная суммы и разности.
7. Производная произведения.
8. Производная сложной функции.
9. Производная частного.
10. Производная обратной функции (без доказательства).
Часть 2. Французские теоремы и исследование функций с помощью производной.
1. Локальный экстремум функции и теорема Ферма.
2. Следствие о точках подозрительных на экстремум.
3. Теорема Ролля.
4. Следствие о количестве решений «производного уравнения».
5. Теорема Лагранжа.
6. Дифференциальный критерий монотонности (следствие теоремы Лагранжа).
7. Теорема Коши.
8. Правило Лопиталя.
9. Определение выпуклой функции. Критерий выпуклости в терминах первой производной.
10. Критерий выпуклости в терминах второй производной. Точки перегиба.
11. Неравенство Йенсена.
12. Теоремы о числе решений уравнений с частями разной выпуклости.
13. Теорема о знаке разности функций разной выпуклости.
14. Асимптоты. Расположение графика функции относительно асимптоты.
Материал для справок. Часть 2.
1. Локальный экстремум и теорема Ферма.
Определение. Пусть – некоторая функция с областью определения . Точка называется точкой локального максимума функции , если существуют такие и , что для всех , лежащих в , справедливо неравенство .
Аналогично определяется точка локального минимума функции . Точка называется точкой локального экстремума функции , если она является для нее точкой локального максимума или локального минимума. Если в какой-то точке функция принимает наибольшее на всей области определения значение, то эту точку называют точкой глобального максимума для функции. Очевидное определение имеют также понятия глобального минимума и глобального экстремума. Ясно, что точка глобального максимума функции является также и точкой ее локального максимума, но не наоборот.
Пример: Пусть . Тогда точка является для точкой локального максимума, поскольку для любого справедливо соотношение . В то же время наибольшего значения на всей области определения и, тем самым, точки глобального максимума, функция не имеет.
Теорема Ферма. Пусть R, и – точка локального экстремума функции . Пусть дифференцируема в точке . Тогда .
Доказательство. Предположим, что имеет в точке локальный максимум, то есть существуют такие и из , что и для всех . Тогда при всех , а дробь , соответственно, неотрицательна при и неположительна при . Следовательно, с одной стороны, , с другой стороны, , и, значит, .
2. Следствие о точках подозрительных на экстремум.
Пусть R, . Точка называется критической точкой функции , если дифференцируема в точке и . Точка называется точкой недифференцируемости функции , если в точке функция не имеет конечной производной (иначе говоря функция не является дифференцируемой в этой точке).
Предложение (следствие теоремы Ферма). Пусть R, . Тогда функция может иметь экстремум в точке только, если – критическая точка функции , или - точка недифференцируемости функции , или совпадает с одним из концов промежутка .
Доказательство. Утверждение предложения означает, что если не является концом промежутка и точкой недифференцируемости для , но является точкой локального экстремума, то тогда обязана быть критической точкой функции , то есть . Последнее верно по теореме Ферма.
Замечание 1. Критические точки, точки недифференцируемости и концы промежутка вместе называют точками, подозрительными на экстремум для функции . Из приведенного выше предложения вытекает, что наибольшее и наименьшее значение функция на промежутке может принимать только в одной из точек, подозрительных на экстремум.
Замечание 2. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке , то она обязательно принимает в одной из точек этого промежутка наибольшее значение. Это утверждение называется «теоремой Вейерштрасса», как и аналогичное утверждение о наименьшем значении. Если , то есть промежуток не замкнут, то наибольшего и наименьшего значения функции на может и не быть.