7.4 Варианты заданий

Таблица 7.1

№	Wл(s)	Параметри нелінійних характеристик
1		Для однозначних характеристик t=5 c; c=2; b=2; b1=b; b2=b+1; k=1 Для неоднозначних характеристик с=0.5;b=0.1
2
3		Для однозначних характеристик t=4 c; c=2; b=2; b1=b; b2=b+1; k=1 Для неоднозначних характеристик с=0.5;b=0.1
4
5		Для однозначних характеристик t=3 c; c=3; b=3; b1=b; b2=b+1; k=2 Для неоднозначних характеристик с=0.5;b=0.2
6
7		Для однозначних характеристик t=5 c; c=3; b=3; b1=b; b2=b+1; k=2 Для неоднозначних характеристик с=0.5;b=0.2
8

7.5 Контрольные вопросы и задания

1. Сущность метода исследования нелинейных систем с помощью фазовой плоскости.

2. Что такое фазовый портрет?

3. Как получить уравнения для описания нелинейной системы с помощью фазового портрета?

4. Как получить выражение для интегральной кривой?

5. Что такое особые точки?

6. Что такое линии переключения?

7. Как выглядит фазовый портрет устойчивой, неустойчивой системы?

8. Какие особые линии можно выделить на фазовой плоскости? Какому состоянию системы они относятся?

10 Дослідження стійкості нелінійних сак прямим методом Ляпунова

10.1 Мета роботи

Метою роботи є придбання практичних навичок з дослідження нелінійних систем автоматичного регулювання за допомогою методу Ляпунова.

10.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

При анализе устойчивости движений в нелинейных системах исследуют устойчивость в особых точках, характеризующих равновесные состояния и на предельных циклах, характеризующих автоколебания. Если в линейных системах работоспособными оказываются только устойчивые системы, то в нелинейных системах наличие автоколебаний является нормальным режимом ее функционирования.

Нелинейная система второго порядка описывается системой уравнений:

.

Условие особых точек:

или

.

Линеаризовав систему уравнений и найдя корни характеристического уравнения можно судить об устойчивости системы.

Если корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная система устойчива, а соответствующая ей исходная нелинейная система асимптотически устойчива в окрестности, рассматриваемой особой точки.

Если корни расположены в правой плоскости, то линеаризованная система неустойчива, а движение в окрестности особой точки является неустойчивым.

Если корни расположены на мнимой оси, то линеаризованная система не устойчива, а для определения устойчивости нелинейной системы необходимо провести дополнительные исследования нелинейной системы, т.е. уравнения в первом приближении не дают точного представления об устойчивости нелинейной системы. В таком случае используется второй (прямой) метод Ляпунова, позволяющий определить устойчивость в большом.

Теоремы Ляпунова об устойчивости нелинейных систем:

1. Если можно найти такую знакоопределенную функцию V(x, y), что тоже знакоопределенная функция противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки асимптотически устойчиво.

2. Если можно найти такую знакоопределенную функцию V(x, y), что будет знакопостоянной функцией противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки будет устойчивым в смысле Ляпунова.

3. Если существует такая функция V(x, y)> 0, что > 0, то такое движение неустойчиво.

Завдання до роботи

1. Построить виртуальный лабораторный стенд для исследования нелинейной системы автоматического управления. В таблице 8.1 заданы соответственно вариантам передаточные функции линейной части системы и статические характеристики нелинейных элементов.

2. Получить статическую характеристику и фазовый портрет нелинейной системы.

3. Сделать вывод об устойчивости нелинейной системы автоматического регулирования.

4. Вручную провести описание нелинейной системы автоматического регулирования с помощью системы дифференциальных уравнений.

5. Получить особые точки.

6. Получить выражение для функции Ляпунова V(x, y) и . Для получения выражений функций Ляпунова использовать метод деления переменных (метод Е.А.Барбашина).

6. В MathCad получить трехмерные графики функций Ляпунова V(x, y) и . Сделать вывод об устойчивости нелинейной системы автоматического регулирования.