Выбор формы уравнения регрессии

Форма уравнения регрессии выбирается из числа рассмотренных регрессионных зависимостей, для этого выполняют следующие операции:

1) Для каждой зависимости определяют:

• Неизвестные параметры (a_k, b_k, ) и их значимость;

• Корреляционное отношение  (для линейной зависимости коэффициент корреляции r) и значимость или ;

• Значимость уравнения в целом;

• Критерий автокорреляции DW;

• Точность аппроксимации .

2) Из зависимостей выбирают такие, у которых автокорреляция остатков отсутствует, т.е. d₂  DW< 4-d₂ ,все параметры значимы, значим или , уравнение в целом значимо.

3) Из числа выбранных зависимостей выбирается зависимость, имеющая наибольшее значение корреляционного отношения  (r – для линейной зависимости). Если таких зависимостей несколько, то предпочтение отдается той, у которой коэффициент  меньше, при этом линейной зависимости независимо от величин  отдается предпочтение.

Множественная регрессия

В множественной регрессии в отличие от парной на зависимую случайную переменную (результирующий показатель) воздействуют одновременно n (n>1) независимых факторов x₁, x₂, .. , x_n. Уравнение множественной регрессии записывается в виде: .

Коэффициент корреляции зависимости между результирующим показателем y и каждым j – м () фактором x_j должен быть отличен от нуля: .

При проверке по нулевой гипотезе, которая утверждает, что в генеральной совокупности связи между y и x_j нет , хотя по выборке корреляционная связь имеется, нулевая гипотеза не должна подтверждаться при P = 0,9.

Факторы x₁, x₂, .. , x_n должны быть попарно независимыми: . При проверке значимости коэффициентов корреляции зависимости между x_k и x_j по нулевой гипотезе, она должна подтверждаться () при P = 0,9.

В отличие от парной регрессии в множественной отдельно рассматриваются только два вида зависимостей: линейная и нелинейная.

Они отличаются только алгоритмами построения уравнений регрессии. Общим для них является способ выбора из заданного множества факторов, попарно независимых.

Пусть на результирующий показатель y воздействуют факторы х₁,х₂ ,х₃, х₄ . Для каждой пары факторов определяются коэффициенты корреляции, которые примем равными: r_1,2 = 0,85; r_1,3 = 0,22; r_1,4 = 0,64; r_2,3 = 0,75; r_2,4 = 0,08; r_3,4 = 0,45.

В результате проверки значений r_k,j по нулевой гипотезе получим _1,3 = _2,4 = 0, а остальные _k,j  0.

Отсюда следует, что попарно независимыми являются следующие пары факторов: х₁,х₃ и х₂, х₄ .

Таким образом, в рассматриваемом случае в качестве независимых факторов могут быть взяты либо х₁,х₃ , либо х₂, х₄ . Какой группе факторов отдать предпочтение, зависит от величины совокупного воздействия каждой из них на результирующий показатель y. Берется та пара, у которой коэффициент корреляции совокупного воздействия R на y больше.

В случае, когда число независимых факторов равно n D – определитель вида

,

- определитель D без первой строки и первого столбца:

.

Предположим, что в рассматриваемом примере

Тогда для пары x₁ , x₃ имеем

.

Для пары x₂ , x_4, выполняя аналогичные действия, находим .

Так как для пары x₁, x₃ R_x1x3 больше, чем для пары x₂,x₄ , то в качестве независимых факторов предпочтительнее взять x₁ и x₃.