2. Данная функция - четная, ее график симметричен относительно оси . Поэтому исследуем функцию для , а при построении графика воспользуемся симметрией и продлим его для .

3. При рассмотрим функцию и : где и где . Обе эти функции общего вида с осью не пересекаются, а с осью пересекаются в точках, определяемых уравнениями, полученными на основании свойства: логарифм единицы равен нулю. Таким образом, график функции пересекается с осью в точках, удовлетворяющих уравнению: , а график функции - в точках, удовлетворяющих уравнению: . Решая эти уравнения графически, получим для каждого из них три действительных корня. Для уравнения получим: , и , а для уравнения получим: , , . Принимая во внимание ОДЗ каждой функции и то, что , приходим к выводу, что функция пересекает ось в точках и , а функция - в точке .

4. Знаки функций. , если и , если . Корни уравнения известны: и . Кривая знаков имеет вид (рис.12) рис.13

Откуда заключаем: , если и , если и .

Для функции находим, что , если .

2. Вычисляем производные: Получаем: . Производная и равна нулю в точках и и не существуют в точках: , которые не входят в ОДЗ, таким образом подозрительной на экстремум точкой является только . Применяя теорему 3, найдем для малой окрестности точки . При , при , . При переходе через точку меняет знак с "+" на "-", следовательно в точке функция имеет максимум:

3. а) На рассматриваемом промежутке , в точках разрыва второго рода, исходная функция имеет вертикальные асимптоты, т.к. б) наклонные асимптоты: находим , применяя правило Лопиталя: ; Находим : , т.е. не существует. Таким образом, данная функция не имеет наклонных асимптот, так как второй предел в (11) не существует. Все сказанное справедливо и для функции .

4. Находим вторую производную Так как всюду в ОДЗ, то дуги данной функции на любом интервале выпуклы. Производные и не существуют в точках: не входящих в ОДЗ и ни где не равны нулю, следовательно данная функция не имеет точек перегиба.

5. Составляя для удобства таблицу результатов исследования функции на интервале :

	-	+	+	+	-	-	+
			0

Строим график для , затем используя симметричность графика достраиваем его для . (рис. 13)

Рис.14

Пример 5. 1. Функция определена при или , откуда получаем и систему неравенств или . Так как эти неравенства справедливы для любых , то функция определена при всех .

2. Функция нечетная, так как . Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию при . Функция не является периодической.

3. С осями координат график функции пересекается в начале координат – точке О .

4. На рассматриваемом промежутке .

5. Найдем производную: Производная ни где не обращается в нуль и не существует в точках и . На рассматриваемом отрезке подозрительном на экстремум является точка . Используя теорему 3, получим для малой окрестности точки : при и при . Так как производная меняет знак с "+" на "-", то в точке функция имеет максимум: . Отметим, что так как в самой точке не существует , в этой точке максимум острый слева от точки на интервале ; , и функция возрастает; Справа, на интервале , , функция убывает.

6. а) Функция не имеет вертикальных асимптот, так как нет точек разрыва второго рода. б) наклонные асимптоты: Таким образом функция имеет одну асимптоту , которой является ось.

7. Вычислим для и :

Вторая производная равна нулю при и не существует в точках , так как при этих значениях не существует .

Легко видеть, что при и при . Это означает, что слева от точки кривая вогнута, а справа – выпукла. Точка является абсциссой точки перегиба, а так как , то точка О(0,0) является точкой перегиба. В рассматриваемом интервале в интервале (0,1) – здесь кривая выпукла; в интервале - здесь кривая вогнута. По определению точка является абсциссой точки перегиба.

Так как , то тогда является точкой перегиба (и точкой максимума).

Сводя все результаты исследования в таблицу

	0	+		+
	2		Не существ.
	0		Не существ.