Программа коллоквиума по курсу «Алгебра и геометрия»
1 Семестр
Коллоквиум будет проходить в 2 этапа:
-
Тестирование – оценивается в 3 балла (необходимо ответить правильно на 80% вопросов). Тест проходят все студенты.
-
Устный ответ и решение задач повышенной сложности – для желающих повысить оценку за коллоквиум (4 или 5).
Для успешной сдачи теста необходимо
ЗНАТЬ
-
Матрицы и операции над ними (сложение, умножение на число, произведение, транспонирование). Свойства операций. Перестановочные матрицы.
-
Системы линейных уравнений (основные определения). Метод Гаусса.
-
Перестановки степени n. Четность перестановки. Транспозиция.
-
Определение определителя. Определители 2-го и 3–го порядков. Определитель треугольной матрицы
-
Основные свойства определителя.
-
Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).
-
Определитель с углом нулей. Теорема об определителе произведения матриц.
-
Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
-
Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.
-
Пространство строк. Операции со строками
-
Линейная зависимость и линейная независимость систем строк. Свойства систем строк.
-
Теорема о двух системах строк (основная теорема).
-
Теорема о базисах.
-
Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров.
-
Вычисление ранга матрицы путем приведения к ступенчатому виду.
-
Теорема Кронекера-Капелли.
-
Фундаментальная система решений. Теорема о числе решений в ФСР однородной СЛУ.
УМЕТЬ
-
Решать системы линейных уравнений методом Гаусса. (№№ 189-196)
-
Находить сумму и произведение матриц. Осуществлять транспонирование матрицы. (№125-135, 143-147)
-
Решать матричные уравнения. (№143-146, 174-177)
-
Определять четность перестановки.(№305-310, 313-320)
-
Вычислять определители 2-го и 3-го порядков. (№245-259, 270-280)
-
Вычислять определитель разложением по строке (столбцу) и с помощью элементарных преобразований строк (столбцов).(№ 370-377, 384-392)
-
Вычислять обратную матрицу.(№ 156, 157, 174-177)
-
Решать систему уравнений методом Крамера. (№226,227)
-
Исследовать систему строк на линейную зависимость.(№435-440,444)
-
Находить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований и с помощью метода окаймления миноров.(№474-477)
-
Находить базис системы строк. Находить координаты строки в указанном базисе.(№462-467)
-
Находить ФСР однородной СЛУ. (№236-239)
Задачи повышенной сложности Системы линейных уравнений
-
Заданная система линейных уравнений имеет матрицу коэффициентов:
Известно, что |A| = 0. Тогда указанная система линейных уравнений:
(а) совместна;
(б) несовместна;
(в) ничего определенного о ее совместности сказать нельзя. Выбрать правильный ответ. Выбор обосновать.
-
Какие из следующих утверждений неверны:
(а) Если определитель квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то система линейных уравнений не имеет решений;
(б) Если определитель квадратной системы линейных уравнений не равен нулю, то система линейных уравнений совместна;
(в) Если определитель квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то система линейных уравнений имеет более одного решения;
(г) Если определитель квадратной системы линейных уравнений не равен нулю, то система линейных уравнений определена?
Ответ обосновать.
-
Если ранг матрицы коэффициентов однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны. Доказать.
-
Пусть a 1, a2, a 3 — произвольные решения неоднородной системы линейных уравнений. Доказать, что— решения этой же системы линейных уравнений. При каких условиях на коэффициенты данная линейная комбинация
любых решений a 1, a2, . . ., am неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?
-
Пусть задана система линейных уравнений, в которой число уравнений на единицу больше числа неизвестных. Доказать, что если эта система совместна, то определитель ее расширенной матрицы равен нулю.