- •1 Направленные отрезки
- •2 Понятие вектора
- •3 Сложение векторов
- •Свойства сложения векторов.
- •4 Разность векторов.
- •5 Умножение вектора на число.
- •Свойства умножения вектора на число.
- •6 Признак коллинеарности векторов.
- •7 Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.
- •8 Линейная зависимость и независимость системы векторов.
- •9 Геометрический смысл линейной зависимости векторов.
- •10 Базис векторного пространства. Координаты вектора.
- •11 Векторные подпространства
- •12 Величины направленных отрезков на оси
- •13 Основные виды параллельного проектирования
- •14 Проекция вектора на ось
- •15 Скалярное произведение векторов
- •16 Координатная форма скалярного произведения
- •17 Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
- •Ортогональная проекция вектора на ось.
- •Ортогональная проекция вектора на плоскость.
- •18 Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе
- •19 Системы координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи на метод координат
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •20 Скалярное произведение на плоскости в аффинных координатах.
- •21 Ориентация плоскости и пространства.
- •22 Векторное произведение векторов.
- •Координатная форма векторного произведения.
- •Приложения векторного произведения.
- •23 Двойное векторное произведение.
- •24 Смешанное произведение векторов.
- •25 Площадь ориентированного параллелограмма. Вычисление площадей.
1 Направленные отрезки
Определение 1.1. Отрезок называется направленным (сокращенно НО ), если учитывается порядок задания его концов.
Пусть и — концы НО. — первый — начало НО, — второй — конец НО. Будем обозначать через направленный отрезок с концами и . Если концы и совпадают, то НО называется нулевым или вырожденным и мы пишем или .
Определение 1.2. Длиной направленного отрезка будем называть длину соответствующего обычного отрезка. Длину направленного отрезка будем обозначать через . В частности, .
Определение 1.3. Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными,если прямые и или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.
Коллинеарные отрезки обозначаются .
Определение 1.4. Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка и , лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое (противоположное) направление, если точки и лежат по одну (по разные) стороны от прямой .
|
Определение 1.5. В случае, если невырожденные направленные отрезки и лежат на одной прямой , они имеют одинаковое направление, если на любой прямой , параллельной найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезков и . Если же любой невырожденный отрезок (лежащий на прямой , параллельной прямой ) имеет одинаковое направление с одним из отрезков и и противоположное сдругим, то направленные отрезки и имеют противоположное направление.
Условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым напраленным отрезком. Одинаково направленные (сонаправленные)отрезки обозначаются , а противоположно направленные .
Определение 1.6. Два направленных отрезка и называются эквиполентными, если
1) ;
2) ;
3) .
Эквиполентные направленные отрезки мы обозначаем .
ЛЕММА 1.1. (признак эквиполентности направленных отрезков)
Необходимым и достаточным условием эквиполентности направленных отрезков и является совпадение середины отрезка с серединой отрезка .
Доказательство необходимости. Дано .Пусть — середина отрезка . Рассмотрим центральную симметрию относительно точки . Совершенно очевидно, что каждый направленный отрезок при центральной симметрии переходит в направленный отрезок , такой, что . Пусть — точка, в которую при преобразовании перейдет точка . Так как точка переходит в точку , то направленный отрезок перейдет в направленный отрезок и, значит, точки и совпадают, т.е. точка является также и серединой отрезка .
Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка совпадает с серединой отрезка . Обозначим их общую середину через . Значит при преобразовании симметрии относительно точки точка перейдет в точку , а точка перейдет в точку , поэтому .
2 Понятие вектора
Приведем одну теорему, доказательство которой очевидно.
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть — множество направленных отрезков в пространстве. Отношение эквиполентности на является отношением эквивалентности, т.е. удовлетворяет трем условиям:
1) — рефлексивно, т.е. ;
2) — симметрично, т.е. если , то ;
3) — транзитивно, т.е. если и , то .
Из теоремы 2.1. следует, что разбивается отношением на непересекающиеся классы. Получаем фактор-множество .
Элементами множества являются классы эквиполентных между собой направленных отрезков.
Определение 2.1. Вектором или свободным вектором называется множество эквиполентных между собой направленных отрезков.
Пусть — направленный отрезок, тогда класс направленных отрезков эквиполентных ему мы называем вектором и обозначаем . Вектор заполняет все пространство,а — это представитель вектора Векторы мы будем обозначать еще и малыми латинскими буквами . Нулевым направленным отрезком определяется нулевой вектор . Длиной вектора естественно считается длина направленного отрезка (представителя), т.е. . Длина нулевого вектора считается равной нулю. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.
Заметим, что запись (читается "вектор равен вектору ") означает, что множество совпадает с множеством , т.е. и --- один и тот же вектор, но по-разному обозначенный. В частности, запись означает, что и --- один и тот же вектор (т.е. что отрезки и эквиполентны). Имеет место следующая лемма о равенстве векторов.
ЛЕММА 2.1. (признак равенства векторов)
Если , то .
Доказательство. середины отрезков и совпадают (см. Лемму 1.1.). Но тогда середины отрезков и совпадают, значит, (см. Лемму 1.1.). Другими словами, .
Отложить вектор от точки — значит построить направленный отрезок , входящий в класс направленных отрезков, образующих вектор
ЛЕММА 2.2. (откладывание вектора от точки)
Для любого вектора и любой точки существует единственная точка такая, что .
Доказательство. Сначала докажем конструктивно, что такая точка существует. Пусть — представитель вектора . Построим середину отрезка точку . Далее строим точку , симметричную точке относительно точки . Точка искомая, так как середины отрезков и совпадают, то по лемме 1.1. , значит, . Осталось доказать единственность. Предположим, чтосуществует еще одна точка такая, что . Тогда получаем , следовательно, по лемме 2.1. . Поэтому точки и совпадают.
Определение 2.2. Говорят, что вектор параллелен прямой , если любой его представитель либо параллелен этой прямой, либо лежит на ней.
Определение 2.3. Векторы и называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой (мы пишем ).
Очевидно, что если , то они либо сонаправлены (если сонаправлены любые их представители), либо противоположно направлены (если противонаправлены любые их представители). Снова условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору .
Определение 2.4. Пусть произвольный вектор и — его представитель,тогда вектор . Вектор
называется противоположным к вектору
и обозначается .
Очевидно, что противоположен вектору , т.е.
.