Вынужденые колебания с учётом силы сопртивления движению
Из условий статического равновесия рис 1в имеем:
Тогда .
Из начальных условия рис 1б имеем:
Рассматривая динамическую расчетную схему (рис. 3, г) по закону Ньютона запишем:
После выполнения сокращений уравнение приводим к каноническому виду:
,
Рассмотрим случай когда k > n
где , k – собственная частота колебаний груза на пружине.
Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
имеет вид:
где х1 – общее решение соответствующего однородного уравнения
,
х2 – частное решение неоднородного уравнения, вид которого определяется видом правой части уравнения в общем случае.
где А и В – некоторые постоянные, значения которых определяются подстановкой частного решения х2 в неоднородное дифференциальное уравнение.
Для того, чтобы равенство выполнялось при любом значении ψ коэффициенты при sin ψ и при cos ψ в левой и правой частях этого уравнения должны быть равны.
Возведем в квадрат, а потом сложим последние уравнения
Тогда
Тепер решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:
Определим неизвестные постоянные интегрирования С1 и С2 , для этого необходимо продифференцирывать последнее выражение
Используем начальные условия задачи:
1) При t = 0 , т.е
2) При t = 0 , т.е.
Подставим найденные численные значения коэффициентов. Окончательно получим:
Рассмотрим случай когда k = n
Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
имеет вид:
где х1 – общее решение соответствующего однородного уравнения
,
х2 – частное решение неоднородного уравнения, вид которого определяется видом правой части уравнения в общем случае.
где А и В – некоторые постоянные, значения которых определяются подстановкой частного решения х2 в неоднородное дифференциальное уравнение.
Для того, чтобы равенство выполнялось при любом значении ψ коэффициенты при sin ψ и при cos ψ в левой и правой частях этого уравнения должны быть равны.
Возведем в квадрат, а потом сложим последние уравнения
Тогда
Тепер решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:
Определим неизвестные постоянные интегрирования A1 и A2 , для этого необходимо продифференцирывать последнее выражение
Используем начальные условия задачи:
1) При t = 0 , т.е
2) При t = 0 , т.е.
Подставим найденные численные значения коэффициентов. Окончательно получим:
Рассмотрим случай когда k < n
Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
имеет вид:
где х1 – общее решение соответствующего однородного уравнения
х2 – частное решение неоднородного уравнения, вид которого определяется видом правой части уравнения в общем случае.
где А и В – некоторые постоянные, значения которых определяются подстановкой частного решения х2 в неоднородное дифференциальное уравнение.
Для того, чтобы равенство выполнялось при любом значении ψ коэффициенты при sin ψ и при cos ψ в левой и правой частях этого уравнения должны быть равны.
Возведем в квадрат, а потом сложим последние уравнения
Тогда
Тепер решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:
Определим неизвестные постоянные интегрирования A1 и A2 , для этого необходимо продифференцирывать последнее выражение
Используем начальные условия задачи:
1) При t = 0 , т.е
,откуда
2) При t = 0 , т.е.
, откуда
Подставим найденные численные значения коэффициентов. Окончательно получим: