Билет 1. Вектор. Коллинеарные, копланарные и равные векторы.

Вектор - упорядоченная пара точек евклидова пространства.

ИЛИ

Вектор – упорядоченная пара чисел (последовательность, кортеж).

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Также вектора коллинеарны при пропорциональности их координат.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Также вектора являются компланарными, если их смешанное произведение равно 0.

Вектора являются равными, если он коллинеарны и равны по длине, или их координаты равны.

Билет 2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора и их свойства.

Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть – произвольный вектор, {₁, _n} – произвольная система векторов. Если выполняется равенство , то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов {₁, _n} является базисом векторного пространства, то равенство называется разложением вектора по базису {₁, _n}. Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса.

Координаты вектора и их свойства.

Координаты вектора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Свойства:

• Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

• Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю.

• Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

• При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

• При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

• Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

• Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

Где

• Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

Билет 3. Декартовы координаты, направляющие косинусы. Орты осей.

Декартовы координаты (декартова система координат) - система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям - прямоугольные декартовы координаты. Названы по имени Рене Декарта.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья - осью аппликат.

Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:

где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.

Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1.

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i, j и k или e_x,e_y и e_z

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов:

[I, j] = k

[j, k] = i

[k, i] = j

Билет 4. Скалярное произведение векторов. Его запись в ортонормированном базисе.

Скалярное произведение векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

={X₁,Y₁,Z₁}

={X₂,Y₂,Z₂}

= X₁ *X₂ +Y₁ *Y₂ +Z₁ *Z₂

Билет 5. Векторное произведение векторов. Геометрический смысл.

Векторным произведением вектора A на вектор B в пространстве называется вектор C, удовлетворяющий следующим требованиям:

а)

б) вектор С ортогонален каждому из векторов А и В

в) обозначается как С = [АВ]=AxB

Геометрический смысл: Модуль векторного произведения [АВ] равняется площади S параллелограмма , построенного на приведённых к общему началу векторах А и В

Билет 6. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл.

Смешанным произведением (A,B,C) векторов A, B и С называется скалярное произведение вектора А на векторное произведение векторов В и С

(А,В,С)=А*(ВxС)

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами А, В и С

Билет 7. Координаты векторного произведения в ортонормированном базисе.

Теорема: Во всяком евклидовом n-мерном пространстве существует ортонормальный базис. (нет в учебнике доказательства)

Определение: Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений одноимённых координат.

Формула: . где – координаты вектора в ортонормированном базисе.

(Источник: Координаты векторного произведения в ортонормированном базисе – учебник «высшая математика» Гусак А. А. – стр.233)

Билет 8. Векторная сумма и разность. Угол между векторами. Ортогональность векторов.

Векторная сумма и разность

Определение: Суммой двух векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора при условии, что вектор отложен из конца вектора или по правилу параллелограмма.

Аналогично определяется сумма трёх и более векторов. Суммой n векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора , конец – с концом последнего при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего .

Определение: Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор : , если . Чтобы получить двух векторов и , необходимо отложить их из одной точки и соединить конец второго вектора с концом первого.

Угол между векторами

Определение: Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

                    

Вывод: Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого из двух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.

Ортогональность векторов

Определение: Векторы являются ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Часто вместо этого термина употребляют термин «перпендикулярность», однако следует учитывать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору, но понятие перпендикулярности для него не определено, поскольку не определён угол между нулевым и другим вектором.

(Источник : Координаты векторного произведения в ортонормированном базисе –Гусак А. А. – стр.233

Сумма и разность векторов - учебник Гусак А.А.стр.138,139;

Угол между векторами - http://fxdx.ru/page/ugol-mezhdu-vektorami-ugol-mezhdu-vektorom-i-osju-proekcija-vektora-na-os )

Ортогональность векторов – не уверен, что правильно)

Билет 9. Двойное векторное произведение. (Определение и теорема).

Определение: Пусть вектор   умножается векторно-скалярно на вектор , после чего полученный вектор  умножается снова векторно-скалярным на вектор . В результате получается так называемое двойное векторное произведение   (ясно, что  - вектор). Умножая вектор   векторно-скалярно на , получим двойное векторное произведение. Вообще говоря,

Докажем, что имеет место тождество:

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем (декартову прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по вектору , ось Оу поместим в плоскости векторов  и  (считая, что векторы  и  приведены к общему началу). В таком случае будем иметь

, ,

Теперь находим

,

С другой стороны , Следовательно, Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем что и требовалось доказать.

(Источник: http://a-geometry.narod.ru/theory/theory_34.htm )

Билет 10. Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если: а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если ,

Билет 11. Декартова прямоугольная система координат

Определение 1. Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY - осью ординат (третья ось OZ - осью аппликат). Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел - координат данной точки.

Определение 2. Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными, такое, что только координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению.

Билет 12. Коллинеарность и компланарность векторов.

Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b.

Проекция вектора на ось

Проекцией вектора на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а - проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора на ось u обозначается символом . Если вектор обозначен символом , то его проекцию на ось u принято обозначать:

Проекция вектора на ось u выражается через его модуль и угол наклона к оси u формулой

Билет 16.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя n–го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если(i+j) – четное число и со знаком минус в противном случае.

где M_ij – минор элемента a_ij

Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Разложение по i-той строке.

Билет № 17.

Минором элемента стоящего на пересечении j-го столбца и i-й строки, в определителе n-го порядка, называется определитель порядка (n - 1), получаемый из данного определителя вычеркиванием в нем строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

Теорема об алгебраическом дополнении

Для определителя матрицы A справедлива формула

Доказательство. Если i=1 , положим B=A . Пусть i!=1 . Тогда i-ую строку поменяем местами со строкой с номером i-1 . Определитель сменит знак. Затем строку с номером i-1 поменяем местами со строкой с номером i-2 . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока i-ая строка матрицы A не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим B . Отметим, что в матрице B , начиная со второй строки, стоят строки матрицы A , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы A к матрице B определитель сменит знак i-1 раз. Таким образом

По определению определителя,

где N{k} -- определитель матрицы, полученной из матрицы B вычеркиванием первой строки и k-ого столбца. Первая строка матрицы B совпадает с i-ой строкой матрицы A , поэтому b{1k}=a{ik} . Результат вычеркивания в матрице B первой строки и k-ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице A i-ой строки и k-ого столбца. Поэтому N{k}=M{ik} , где M{ik} -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице A i-ой строки и k-ого столбца. Следовательно,

следовательно

По определению алгебраического дополнения получим

Тогда из предыдущего равенства вытекает

что и требовалось доказать.

Билет 18.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора(или иначе порядок базисного минора).

Нахождение ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

1.При умножении строки на число базисный минор либо не изменится, либо умножится на . Ни один минор, равный нулю, не сделается отличным от нуля.

2. Если все миноры ранга r+1 (r-ранг базисного минора) равны нулю, то сложение строк не сделает ни один из них отличным от нуля. Следовательно, ранг матрицы не может повыситься и понизиться.

3. При перестановке строк минор может изменить знак или вообще не измениться , при этом порядок базисного минора останется тем же.

4. неизменность ранга при элементарных преобразованиях столбцов доказывается аналогично.

Билет 19. Теорема о ранге матрицы.

Теорема. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличного от нуля минора.

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А (1) равен r. Перестановками строк и столбцов можно добиться того, что этот минор будет стоять в верхнем левом углу матрицы, которую обозначим А^*. Очевидно, что если все миноры (r + 1)-го порядка у А равны нулю, то и у матрицы А^* такие миноры тоже будут равны нулю. Обозначим минор порядка r, стоящий в верхнем левом углу через М. Очевидно, что первые r столбцов матрицы линейно независимы. Если бы это было не так, то столбцы, составляющие минор М были бы линейно зависимы, и этот минор равнялся бы нулю.

Теперь осталось доказать, что любой k-й столбец матрицы при r < k  m будет линейной комбинацией первых r столбцов. Выберем произвольные числа i и j (r < j  n). Поменяем местами в матрице А^* (r+1)-ю строку c i-й и (r+1)-й столбец с j-м. Теперь минор М получился “окаймлённым” минором M_ij

При любых i минор M_ij будет равен нулю. Например, если r < i  n, то M_ij является минором порядка r + 1 матрицы А, и следовательно, по условию равен нулю. Если i  r, то M_ij не является минором матрицы А, но он содержит две одинаковых строки, и поэтому равен нулю.

Разложим минор M_ij. по последней строке:

(2)

Поскольку в последней формуле алгебраическое дополнение элемента а_ik не зависит от i, оно обозначено А_k. Поскольку М  0, из равенства (2) можно выразить элемент j-го столбца a_ij через элементы первых r столбцов i-й строки:

Это равенство справедливо при всех i (i = 1,2,,r), причём коэффициенты при а_ik от i не зависят. Отсюда следует, что i-й столбец матрицы будет линейной комбинацией её первых r столбцов. Таким образом, в системе столбцов матрицы А найдена максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из r столбцов, то есть ранг матрицы А равен r.

Теперь для того, чтобы найти ранг системы векторов, достаточно составить матрицу, столбцами которой служат вектора системы, и найти минор максимального порядка, отличный от нуля. Порядок этого минора и будет рангом системы векторов.

Две теоремы о ранге матрицы.

1. Ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.

Пусть имеются две матрицы А и В, которые можно перемножать и пусть АВ = С. В i-й строке, и j-м столбце матрицы-произведения С стоит элемент , определяемый формулами:

при i = 1

при i = 2

при произвольном i

Здесь видно, что j-й столбец матрицы С представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А, взятых с коэффициентами . Отсюда следует, что система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А, и ранг системы столбцов С не превышает ранга системы столбцов А.

Если теперь использовать формулу (9) для элементов произвольной строки матрицы С, то получится:

при j = 1

при j = 2

и так далее.

Отсюда видно, что система строк матрицы С является линейной комбинацией системы строк матрицы В, следовательно, ранг системы строк матрицы С не может превышать ранга системы строк матрицы В, и теорема доказана.

2. Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.

Доказательство. Пусть

AQ = C (**)

Из первой теоремы о ранге матрицы следует, что ранг матрицы С не выше ранга матрицы А. Если умножить обе части равенства (**) на Q^–1 справа, получится равенство

AQ = CQ^–1

Из той же теоремы о ранге матрицы следует, что ранг А не выше ранга С.

Билет 20. Теорема о базисном миноре.

Теорема 2. (Теорема о базисном миноре).

Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая стро-

ка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных

строк (базисных столбцов).

Доказательство. Все рассуждения приведём для строк.

Независимость базисных строк будем доказывать от противного. Пусть

базисные строки линейно зависимы. Тогда по теореме 1 одна из строк явля-

ется линейной комбинацией остальных. Но тогда из свойств определителя

вытекает, что базисный минор равен нулю, чего не может быть, следова-

тельно, базисные строки линейно независимы.

Докажем теперь, что любая строка матрицы A является линейной ком-

бинацией базисных строк. Не нарушая общности, можно считать, что ба-

зисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы A . Рассмотрим

определитель (r + 1) -го порядка вида:

a 11 a 12 ... a 1r ... a 1 j

a 21 a 22 ... a 2r ... a 2 j

... ... ... ... ... ... ,

Δ=

ar1 ar 2 ... a r r ... a r j

... ... ... ... ... ...

a k1 a k 2 ... a kr ... a kj

85

полученный добавлением к базисному минору частей любой k -й строки и

любого j -го столбца матрицы A . Докажем, что Δ = 0 . Если j ≤ r и k ≤ r ,

то Δ = 0 , так как он содержит два одинаковых столбца или две одинаковых

строки. Если j > r и k > r , то Δ - есть минор ( r + 1 )-го порядка матрицы

A , а всякий такой минор равен нулю.

Итак, Δ = 0 . Разлагая Δ по элементам последнего столбца и обозначая

алгебраические дополнения элементов a ij буквами c i = A ij , получим

c 1a 1j + c 2a 2 j + ... + c 2a r j + c r +1a kj = 0 ( j = 1, 2,..., n ) . Но c r +1 = A kj равно базисно-

c c

му минору, поэтому c r +1 ≠ 0 . Отсюда, обозначая γ 1 = − 1 , γ 2 = − 2 , …,

c r +1 c r +1

c

γ r = − r , из последнего равенства получим: a kj = γ 1a 1j + γ 2a 2 j + ... + γ 2a r j

c r +1

( j = 1, 2,..., n ) , а это означает, что любая k -я строка матрицы A является ли-

нейной комбинация базисных строк. Теорема доказана.

Билет 21. Расширенная матрица системы. Правило Крамера.

Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов.

Теорема. (Правило Крамера)

            Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

 

x_i = _i/, где

 = det A,  а _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

x₁ = ₁/detA;       x₂ = ₂/detA;        x₃ = ₃/detA;

        Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂= … = x_n = 0.При  = 0 система имеет бесконечное множество решений.

 

Билет 22. Матрицы и действия на ними. Линейное пространство.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Операции над матрицами

1.Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

2.Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

3.Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

4.Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (a_ij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая матрица равна . Здесь  — число, комплексно сопряжённое к a.

5.Транспонирование

С каждой матрицей A = (a_ij) размера связана матрица B = (b_ij) размера вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для A и обозначается так A^T. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (a_ij) размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .

Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: .

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов 3-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.

Пусть дано поле k, элементы которого будем называть скалярами. Множество называется линейным или векторным пространством над k, а его элементы называются векторами, если на нём определены операции

• векторного сложения обозначаемая x + y, где и

• умножения вектора на скаляр обозначаемая αx, где

Билет 23. Обратная матрица, её свойства. Методы вычисления и единственность.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.