1. Равномерное распределение

Определение. Случайная величина с плотностью вероятности

, где ,

называется равномерно распределённой величиной.

Равномерный закон распределения используется: при анализе ошибок измерения, когда проводятся численные расчёты; в ряде задач массового обслуживания.

Найдём величину из условия (свойство плотности вероятности):

.

Поэтому , а плотность вероятности равномерно распределённой величины имеет вид:

.

Найдём также функцию распределения равномерно распределённой величины. По свойству для плотности вероятности:

=

.

Графики функций и приведены ниже на рис. 7.1. На графике для функции четыре стрелки означают, что левый или правый пределы не достижимы функцией в соответствующей точке.

Рис. 7.1. Равномерное распределение.

_______________

Пример. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придётся не более полминуты.

Решение. Пусть случайная величина - время ожидания пассажира. Тогда её плотность вероятности равна:

.

Поэтому по свойству для плотности вероятности получим:

.

2. Нормальное распределение

Определение. Случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если её плотность распределения вероятностей имеет вид:

,

где и - параметры распределения ().

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная его особенность – он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения (при типичных условиях).

Плотность вероятности - функция, похожая на колокол (рис.7.2). Зависимость от параметров такова. При уменьшении только параметра , график функции вытягивается и поднимается вверх по оси ординат. А при увеличении только параметра , график симметрично передвигается вправо вдоль оси абсцисс:

Рис. 7.2. Функция плотности распределения нормальной величины.

Функция распределения нормального распределения

имеет следующий вид, изображенный на рис. 7.3:

Рис. 7.3. Функция распределения нормальной величины

а) Правило «трёх сигм»

Найдём вероятность того, что изучаемая случайная величина (распределённая нормально) примет значение в пределах от до :

.

Для этого воспользуемся известным из математического анализа свойством определённого интеграла:

и, используя ещё одно свойство:

,

окончательно получим:

.

Этим равенством и воспользуемся (при условии, что роль играет параметр из нормального закона)

.

Далее сделаем замену в определённых интегралах (тогда или ):

,

где функция , функция Лапласа , она затабулирована и приводится в приложении 2. В частном случае, когда интервал симметричен относительно точки, эта формула выглядит так:

или так:

.

Отсюда правило «трёх сигм» выводится следующим образом. Рассмотрим вероятность того, что изучаемая случайная величина (распределённая нормально) примет значение в пределах от до :

.

Из таблицы для функции Лапласа находим, что , поэтому

,

т.е. вероятность встретить значение изучаемой случайной величины именно на интервале ужасно велика - !!!