Лекция № 5

Дискретны случайные величины

1. Закон распределения дискретной случайной величины

Начнём с примера. Если Вы сдаёте экзамен, то результатом сдачи может явиться:

а) сам факт сдачи экзамена, это известное нам случайное событие;

б) оценка, полученная на экзамене. А когда речь идёт о количестве, то это уже новая характеристика, ранее нами не исследованная. Это уже величина. А поскольку она носит случайный характер (заранее никак не угадаешь, сдадите ли экзамен на «» или на «»), то это величина - случайная. Так появляется необходимость рассмотрения случайных величин.

Определение. Переменная , принимающая в результате испытаний случайным образом одно и только одно из конечной или бесконечной последовательности значений , называется дискретной случайной величиной, если каждому значению соответствует определённая вероятность того, что переменная примет значение .

Обозначение. Обозначать дискретные случайные величины будем латинскими буквами , , ,..., а их возможные значения .

Определение. Зависимость вероятности от значения называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Закон распределения удобно задавать в виде таблицы:

Значения случайной величины ()
Вероятности значений ()

Получается так называемый ряд распределений дискретной случайной величины.

Причём (что очень важно!) события - несовместные и единственно возможные (переменная принимает одно и только одно значение), поэтому (по теореме сложения вероятностей и т.к. в итоге получается достоверное событие):

,

если принимает конечное число значений, и

,

если принимает бесконечное число значений. То есть получается необходимое условие существования закона распределения!

Закон распределения дискретной случайной величины можно задавать графически:

Рис. 5.1. Многоугольник распределения.

Получается так называемый многоугольник распределения вероятностей дискретной случайной величины (на рис. 5.1 – ломаная линия, жирная).

_______________

Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна .

Решение. Прежде всего, разберём, сколько значений может принимать случайная величина в данном случае. Можем совсем промахнуться ( будет равно ), попасть один раз из четырёх (), попасть два раза из четырёх (), попасть три раза из четырёх (), попасть четыре раз из четырёх ().

Теперь о вероятностях. Нас интересует вероятность: раз попасть при четырёх выстрелах. Иными словами, вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз. В схеме Бернулли мы её обозначали как , а находили по формуле :

.

Аналогично

,

.

Причём легко подсчитать, что:

.

Поэтому закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах имеет вид