- •Глава 9. Организация эксперимента при решении задач оптимизации
- •9.1 Формализация задач оптимизации технических систем (процессов)
- •9.1.1 Формулировка задачи оптимизации
- •9.1.2 Классификация задач оптимизации
- •9.2 Методы поиска оптимальных условий работы технических систем
- •9.3 Аналитический поиск экстремума целевой функции
- •9.4 Численные методы поиска оптимума
- •9.4.1 Оптимизация перебором
- •9.4.2 Сканирование
- •9.5 Итерационные методы направленного поиска
- •9.5.1 Метод дихотомии
- •Результаты вычислений по методу дихотомии
- •9.5.2 Метод золотого сечения (деление отрезка в среднем и крайнем отношении)
- •9.6 Методы безградиентного многомерного поиска оптимума
- •1. Безградиентные методы:
- •2. Градиентные методы:
- •9.6.1 Покоординатный метод Гаусса-Зайделя
- •9.6.2 Метод случайного поиска
- •9.6.3 Симплекс – планирование и движение в область оптимума
- •1. Наилучшее значение выходной переменной y наблюдалось в двух или нескольких вершинах симплекса. Рекомендуется принять решение с помощью одного из случайных механизмов (бросания монет и т. П.).
- •Матрица симплекса 1-3-6
- •Матрица симплекса 2-7-8
- •Преобразованная матрица симплекса 1-3-6
- •План-матрица начального симплекса
- •Координаты симплекса 2-3-4
- •Координаты симплекса 3-4-5
- •Координаты симплекса 2-4-6
- •Координаты симплекса 4-6-7
- •Координаты симплекса 6-7-8
- •9.7 Градиентные методы экспериментальной оптимизации
- •9.7.1 Метод градиента
- •9.7.2 Метод крутого восхождения
- •План-матрица пфэ и его результаты
- •Расчеты для движения по градиенту
- •Реализация мысленных опытов
- •9.7.3 Особенности решения задач экспериментальной оптимизации
- •9.8 Вопросы для самоконтроля
Преобразованная матрица симплекса 1-3-6
№ опыта |
Х1 |
Х2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
3 |
0,5 |
0,86 |
Следовательно, всегда нужно следить за системой координат, в которой записан план.
Ниже приведен перечень матриц (в кодированных координатах) как практическая рекомендация для применения.
Таблица 9.5
План-матрица начального симплекса при числе факторов k = 3
№ опыта |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
1 |
–1 |
–1 |
+1 |
2 |
+1 |
–1 |
–1 |
3 |
–1 |
+1 |
–1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
Таблица 9.6
План-матрица начального симплекса при числе факторов k = 4
№ опыта |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
3 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
5 |
–0,618 |
–0,618 |
–0,618 |
–0,618 |
Таблица 9.7
План-матрица начального симплекса при числе факторов k = 5
№ опыта |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
3 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
5 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
6 |
–0,38 |
–0,38 |
–0,38 |
–0,38 |
–0,38 |
Таблица 9.8
План-матрица начального симплекса при числе факторов k = 6
№ опыта |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
Х6 |
1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
3 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
5 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
6 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
7 |
–0,215 |
–0,215 |
–0,215 |
–0,215 |
–0,215 |
–0,215 |
Для организации кантовки симплексов используют формулу:
, (9.3)
где – координата искомой вершины в натуральных единицах;
k – число факторов (следовательно, k + 1 – число вершин в исходном симплексе);
– i-я координата точки с наихудшим результатом.
Могут быть также использованы формулы 9.4 и 9.5.
(9.4)
; (9.5)
где – координата центра грани, относительно которой осуществляется отображение вершины симплекса с наихудшим результатом опыта;
– координата вершины, в которой получен наихудший результат.
Рассмотрим пример экспериментального поиска значений оптимизирующих факторов симплексным методом.
Изучался процесс сверления. Диаметр сверла – 0,5 мм. Материал – Ст.45. Отклик – стойкость сверла в минутах. Варьировались: х1 – число оборотов в минуту, х2 – подача в мм на оборот.
Из технологических соображений выбраны:
Таблица 9.9