3.Применение методов аналитиЧеской Механики к анализу движениЯ механиЧеских систем

Основу аналитической механики составляют общие принципы, из которых аналитическим путем могут быть получены основные дифференциальные уравнения движения или условия равновесия механической системы.

В данном разделе курсовой работы требуется:

• составить дифференциальные уравнения движения системы (желательно несколькими способами);

• найти решения дифференциальных уравнений движения (в большинстве случаев численными методами);

• построить графики изменения координат и скоростей на заданном интервале времени;

• произвести анализ движения системы, варьируя начальные условия и параметры системы;

• решить другие задачи, которые могут быть поставлены преподавателем индивидуально.

3.1. Связи и виртуальные перемещения

Пусть имеется система, состоящая из N материальных точек Если на положения и скорости точек наложены ограничения геометрического или кинематического характера ( механические связи ), то такая система называется несвободной. Для свободных систем связи отсутствуют.

Если скорости точек не входят в уравнения связей, то такие связи называются конечными или геометрическими. Ограничения, накладываемые на движение системы такой связью, могут быть описаны уравнением

, (3.1)

где - радиусы-векторы точек ,

t - время.

Связь, описываемая уравнением

, (3.2)

называется кинематической. Если она путем интегрирования не может быть приведена к виду (3.1), то ее называют неголономной или дифференциальной.

Связь называется стационарной, если время явно не входит в уравнение связи

(3.3)

и нестационарной, если параметр t присутствует, например, (3.1).

Система называется склерономной, если на нее наложены только стационарные связи. В противном случае система называется реономной.

Связи, которые записываются в виде равенства (например, (3.1)), называются удерживающими, а которые в виде неравенства - неудерживающими

.

Пусть на материальную систему наложены d конечных связей

(3.4)

и g линейных дифференциальных связей

, (3.5)

где - вектор и скаляр, представляющие собой заданные функции от t и .

Продифференцируем уравнения конечных связей (3.4)

(3.6)

Систему векторов будем называть возможными скоростями для некоторого времени t и для некоторого возможного в этот момент положения системы, если векторы удовлетворяют d+g линейным уравнениям (3.5) и (3.6).

Для каждого возможного положения системы в момент времени t существует бесчисленное множество систем возможных скоростей.

Систему бесконечно малых перемещений будем называть возможными перемещениями.

Умножив уравнения (3.5) и (3.6) на dt, получим уравнения, определяющие возможные перемещения

(3.7)

Возьмем две системы возможных перемещений для одного и того же момента времени и для одного и того же положения системы:

и .

Как , так и , удовлетворяют системе (3.7), а их разности

(3.8)

удовлетворяют соотношениям:

(3.9)

Векторы , удовлетворяющие соотношениям (3.9) называются виртуальными перемещениями. Сравнивая выражения (3.7) и (3.9) можно заключить, что виртуальные перемещения совпадают с возможными перемещениями при “замороженных” связях.

Можно еще сказать, что виртуальные перемещения представляют собой перемещения точек системы из одного возможного положения системы в момент времени t в другое бесконечно близкое, возможное для того же самого момента времени t, положение системы.

При стационарных связях виртуальные перемещения совпадают с возможными.