Примеры решения задач

Пример 1. Определить давление газа в сосуде А по показанию двухжидкостного U-образного манометра, заполненного жидкостями с плотностями ρ₁, и ρ₂.

Решение

Выбираем поверхность уровня, т.е. поверхность с одинаковым давлением во всех её точках, на уровне 0-0 и рассматриваем давление на этом уровне в левой и правой трубках U-образного манометра.

Давление в левой трубке на уровне 0-0 согласно уравнению (1)

,

давление в правой трубке

,

где р_а - атмосферное давление.

Общее уравнение

откуда

(7)

Этот результат можно получить и другим методом, двигаясь последовательно от одной поверхности уровня к другой и соблюдая правило:

опускаемся вниз от выбранного уровня - давление растет, поднимаемся вверх - давление падает, что соответствует знаку «минус» перед вторым слагаемым формулы (1).

Попробуем для примера двигаться по трубкам манометра слева направо.

На свободной поверхности жидкости с плотностью ρ₁ давление газа р_Г, на уровне 0-0 давление согласно (1) будет равно сумме

.

Поднимаясь от уровня 0-0 к свободной поверхности жидкости с плотностью ρ₂, будем иметь на свободной поверхности давление

Выразив отсюда значение р_Г, получим формулу (7).

Если в формулу (7) подставить значение атмосферного давления р_а, то получим абсолютное давление газа, т.е. значение р_Г в абсолютной системе измерения. Если же не учитывать атмосферное давление, приняв р_а=0, получим избыточное давление газа.

(8)

При следующих значениях величин, входящих в формулу (8):

h₁ = 80 см; h₂ = 40 см;

ρ₁ = 800 кг/м³; ρ₂ = 13,6 10³ кг/м³,

величина избыточного давления газа равна: р_Г = 47088 Па ≈ 47,1 кПа.

Пример 2. Квадратное отверстие со стороной а в стенке бака закрыто плоской заслонкой, которая может поворачиваться вокруг оси шарнира О. Размеры заслонки соответствуют размерам отверстия в стенке. Определить силу F, которую необходимо приложить к верхнему краю заслонки, чтобы удерживать её в закрытом состоянии при заполнении бака водой.

Решение

Согласно формуле (3), сила давления воды на заслонку будет равна:

,

поскольку учитывается только та площадь заслонки, которая контактирует с жидкостью.

Очевидно, что центр тяжести этой площади будет расположен на глубине а/4 от свободной поверхности воды. Тогда

,

при этом обязательно следует учитывать, что заслонка разгружена от атмосферного давления и давление р_с всегда измеряется в избыточной системе, т.е.

Тогда

(9)

Однако для определения силы F следует составить уравнение моментов относительно оси шарнира О, а для этого надо знать точку приложения силы F_ж. Можно воспользоваться формулой (4) и определить величину Δ, на которую вниз от центра тяжести рассматриваемой площади смещена точка приложения силы F_ж. Но для прямоугольной заслонки удобно использовать эпюру избыточного давления. Согласно основному закону гидростатики, она для рассматриваемой задачи имеет форму треугольника. Известно, что равнодействующая в этом случае приложена на 1/3 от основания, т.е. на расстоянии а/6 от оси шарнира. Тогда уравнение моментов будет иметь вид:

.

Выразив отсюда F с учетом формулы (9), получим

.

Для конкретных значений: а = 1 м и ρ = 1000 кг/м³, получим: F ≈ 204 Н.

Пример 3. Определить давление жидкости в полости А гидроцилиндра р_А, (см. рис. 3), при котором поршень гидроцилиндра, нагруженный силой предварительного поджатия пружины F_П и силой на штоке F, будет находиться в покое.

Решение

Решение задач подобного типа всегда надо начинать с составления уравнения сил, приложенных к некоторому подвижному телу, в данном случае к поршню. Приняв за положительное направление действия сил слева направо, условию равновесия поршня соответствует уравнение:

(10)

где F_ж - сила давления жидкости на поршень в полости А.

При определении силы F_ж для реальных размеров гидроцилиндров, применяемых в машиностроении, можно не учитывать изменение давления от верхней до нижней точек поршня и считать, что давление всегда распределяется по всей площади равномерно и, следовательно, центр тяжести совпадает с точкой приложения силы. Тогда:

.

(11)

Решая совместно уравнения (10) и (11), получим:

.

(12)

Подставим в (12) конкретные значения: F_П = 300 Н; F = 1800 Н; D = 100 мм; d = 40 мм, получим: р_А ≈ 0,323 МПа.