Задача к2
Дано: r1 = 2 см, R1 = 4 см,
r2 = 6 см, R2 = 8 см,
r3=12 см, R3=16 см.
-закон изменения угловой скорости колеса 2.
t1 = 2 с
Определить: V5, ω3, ε2, aA, a4
Решение. Отметим точки контакта одного тела с другим: точка K (груз - трос), точка D (трос - звено 3), точка G (звено 2 - звено 3), точка H (звено 2 - звено 1), точка M (звено 1 – рейка 4).
Проскальзывание в точках контакта отсутствует, следовательно, скорости соприкасающихся точек равны.
Будем называть ведущим звеном то звено, движение которого задано. С рассмотрения ведущего звена начинаем решение задачи. В данной задаче это звено 2.
По условию, закон изменения угловой скорости колеса 2:
(1)
Определим угловое ускорение тела 2
При t1=2c
Знаки и разные, следовательно, вращение тела 2 замедленное.
Рассмотрим точки G и H.
Сравнив эти соотношения, найдем
При t1=2c
Рассмотрим точки D и К.
Сравнив эти соотношения, найдем
При t1=2c = 16 см/c и вектор направлен по вертикали вверх.
Рассмотрим точку Н и А.
;
Сравнив эти соотношения, найдем
см/с2;
вектор направлен к центру колеса 1;
;
В момент времени t1=2c Знаки и разные, следовательно, вращение тела 1 замедленное.
вектор направлен в сторону, противоположную повороту тела 1 (замедленное вращение тела).
Рассмотрим точку М.
Сравнив эти соотношения, найдем
Подставляя в последнее уравнение данные, получим:
Т. к. звено 4 движется прямолинейно, то ускорение равно:
Ответ: при t1=2c
, - замедленное вращение против часовой стрелки;
, - вращение против часовой стрелки;
см/с - движение по вертикали вверх;
см/с2, вектор направлен к центру колеса 1;
см/с2, вектор и направлен в сторону, противоположную вектору , так как вращение тела замедленное;
Задача кз
Дано: b = 12 cм, = t2- 2t3,
s = AM=40·(t2-3t)+32
s – в сантиметрах, t – в секундах
Определить: абсолютную скорость Vабс и абсолютное ускорение аабс точки М в момент времени t1 = 1 с.
Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки М как сложное, считая ее движение по прямой ВD относительным, а вращение пластины – переносным (подвижные оси М1xy связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:
(1)
где учтено, что
Определим все входящие в равенство (1) величины.
1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом Закон движения точки по прямолинейной траектории:
s = AМ = 40·(t2-3t)+32, (2)
поэтому , , так как для прямой линии .
В момент времени t1 = 1 с имеем
s1 = AМ1 = -48 см, Vотн = -40 см/с, аотн = 80 см/с2. (3)
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону отрицательного отсчета координаты s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рисунке.
2. Переносное движение (мысленно остановим движение точки по пластине). Это движение (вращение) происходит по закону = t2- 2t3.
Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения: = = 2t – 6t2; = = 2-12t и при t1 = 1 с,
= -4 с-1 , = -10 с-2. (4)
Знаки указывают, что в момент t1= 1с направление и противоположно положительному отсчету угла .
Из рисунка находим расстояние h1 от точки M1 до оси вращения О (перпендикулярной плоскости чертежа): ΔАОМ1-прямоугольный, равнобедренный
h1 = = 67,8 см. Тогда в момент t1 = 1 с, учитывая равенства (4), получим
(5)
Изобразим на рисунке векторы и (с учетом знаков и ) и ; направлены векторы и перпендикулярно ОМ1, а вектор – по линии М1О к оси вращения.
3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле где – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . В момент времени t1 = 1 с, учитывая, что в этот момент и , получим
(6)
Направление найдем по правилу Н.Е.Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90 в направлении , т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. 4. Определение . Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение можно еще определить по формуле
5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений
(7)
Для определения проведем координатные оси М1xy и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х, а векторы расположены в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси М1хy получим для момента времени t1 = 1с:
Отсюда находим значение :
Ответ: Vабс = 300,8 см/с, аабс = 1454 см/с2.