ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УР

Гоу впо «удмуртский государственный универститет»

Филиал УдГУ в г. Воткинске

Кафедра математики и информатики

Контрольная работа №3

по дисциплине

«МАТЕМАТИКИ»

(название дисциплины)

для специальности -ЭУНГП

ВОТКИНСК 2007

Требования к оформлению контрольных работ.

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой указывается предмет, номер работы, номер варианта, фамилия, имя, отчество.

2. Контрольные работы должны быть написаны аккуратно и разборчиво, чертежи выполнены с помощью чертежных инструментов; для пометок преподавателей должны быть оставлены поля 3-4 см.

3. Условия задачи необходимо списывать полностью, к геометрическим задачам необходимо делать краткую запись условия. Полученный результат выделять.

4. Каждую задачу необходимо начинать с чистого листа.

5. Решения задачи должны сопровождаться краткими, но достаточными объяснениями; решения необходимо проверить и критически оценивать правдоподобность полученного результата, исходя из смысла задачи.

6. После решения каждой задачи выписать литературу не меньше двух книг с указанными страницами.

7. Студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя, исправить все допущенные в работе ошибки, а в случае неудовлетворительного выполнения работы исправить ее и представить вторично или по указанию преподавателя выполнить другой вариант и предоставить ее на рецензию.

8. Без предъявления контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

Решение типового варианта

Задание 1. Найти общее решение:

.

Преобразуем данное уравнение:

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные

Интегрируем обе части неравенства:

Последнее равенство является общим интегралом исходного уравнения.

Задание 2. Найти общее решение:

.

Так как функции и — однородные второго измерения

то данное уравнение — однородное.

Сделаем замену: где — новая неизвестная функция.

.

Тогда:

, .

Далее имеем:

, .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

.

В последнее выражение вместо подставим значение .

Получим общий интеграл:

Выразив отсюда , найдём общее решение исходного уравнения :

.

Задание 3. Найти общее решение:

.

Это линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим однородное:

.

Решим его:

, ,

По методу Лагранжа общее решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде ,где — неизвестная функция.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

.

Получим простейшее дифференциальное уравнение 1-ого порядка:

, , .

Окончательно, общее решение нашего уравнения имеет вид :

.

Задание 4. Найти общее решение:

Введём обозначения:

Так как;, а следовательно , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах, а его левая часть есть полный дифференциал , причем

Далее:

;

т.е.

, , а, .

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид U (x, y)=C или

.