Обчислення одномірних моментних функцій по характеристичним
Розглянемо одномірну характеристичну функцію
та обчислимо по аргументу vk першу похідну від неї:
Для vk = 0 маємо:
Початкове значення (для vk = 0) похідної 1-го порядку одномірної характеристичної функції з точністю до постійного множника j визначає математичне очікування або одномірну початкову функцію 1-го порядку:
Друга похідна одномірної характеристичної функції
Тоді середній квадрат
Одномірна моментна функція 2-го з точністю до (-j)2 пропорційна другій похідній від одномірної характеристичної функції в точці vk = 0.
Приклад.
Розглянемо процес X(t) з експоненціальним законом розподілу
Математичне очікування такого процесу в перерізі :
Середній квадрат:
Тоді дисперсія може бути обчислена як різниця між середнім квадратом та квадрати середнього значення:
Обчислимо ці ж величини на основі характеристичної функції 1-го порядку
Перша похідна характеристичної функції:
Початкове значення похідної:
Тоді
Початкове значення другої похідної
Отже, середній квадрат
Результати розрахунків з використанням характеристичних функцій повністю співпадають з отриманими раніше на базі визначень математичною очікування та середнього квадрату.
Характеристична функція закону Лапласа
Оскільки парна, то .
За методом характеристичних функцій:
Дисперсія тоді є середньостатистичним квадратом:
Експоненціальний закон та його узагальнення часто використовується для вирішення технічних проблем, пов'язаних з визначенням надійності систем, часу очікування доступу користувачів в яку-небудь систему (канали телефонного, телеграфного зв'язку чи, наприклад, мережа Internet), числа каналів системи зв'язку, необхідних ,для реагування на повідомлення користувачів, що поступають у випадкові моменти часу та характеризуються довільною довжиною.
Приклад.
Гармонічне коливання характеризується випадковою початковою фазою з рівномірним законом розподілу на інтервалі і детермінованими амплітудою та частотою:
Визначити середнє статистичне, середній квадрат та дисперсію початкової фази.
У зв'яжу з тим, що функція щільності ймовірності симетрична відносно осі ординат, математичне очікування .
Середнє значення квадрату початкової фази процесу з таким законом розподілу ймовірностей згідно з отриманим раніше результатом
Значення середнього квадрату визначає дисперсію , оскільки математичне очікування дорівнює нулю.
Тепер обчислимо ці ж характеристики на основі одномірної характеристичної функції:
Середній квадрат випадкової початкової фази
Після двократного диференціювання та розкриття невизначеності отримаємо середній квадрат га дисперсію:
Отже, знаючи одномірну характеристичну функцію на основі ( ) і ( ), ми можемо обчислювати одномірні моментні функції відповідних порядків, навіть, більше другого.
Приклад.
Випадковий прогрес X(t) в k-ому перерізі визначається дискретною випадковою величиною , ймовірності прийняття значень якого задаються рядом . Визначити середній квадрат та математичне очікування процесу в заданому перерізі методом характеристичних функцій.
Згідно з означенням для дискретної випадкової величини одномірна характеристична функція
Перша похідна характеристичної функції по її аргументу:
а її початкове значення
Тоді відповідно до ( ) математичне очікування
Для визначення середнього квадрату обчислимо початкове значення другої похідної характеристичної функції:
Згідно з ( ) середній квадрат
.
Поибки 6 лекція
Приклад. Оцінити сумарну адитивну похибку ІВС, якщо Δадав = ±0,08; ΔБО=±0,02; параметри АЦП, як у попередньому прикладі: 2,0/0,5; нормуюче значення YН=1; КБО = 0,5; КАЦП =1
Знаходимо коефіцієнти впливу
Тоді
()
Тоді
Після того, як визначені адитивна та мультиплікативна складові для всієї системи їх об’єднують
ΔІВС = ΔY = ΔYа + ΔYм
δY = δYм + δYa = δYм + = δYм +
Приклад:
Якщо величини ΔKi, Δаді є випадковими, то сумарна систематична похибка ІВС оцінюється математичним очікуванням співвідношень (4) з урахуванням коефіцієнтів впливу. Наприклад:
ΔІВСсист = М[ΔYa]+M[ΔYm]
Приклад В. Середньоквадратичні значення випадкової похибки блоків такі: , , , . Похибки корельовано, тоді
Приклад С. Випадкова похибка ВК зміщується в межах ±2,5% і розподілена за рівномірним законом, а похибка блоку обробки підпорядкована нормальному закону розподілу і дорівнює ±0,05%. Похибки некорельовані визначити результуючу похибку системи.
Якщо закон рівномірний в межах b,a, то , а середньоквадратичне значення . Отже, для довірчої ймовірності 1 => b-a=Δд(РД=1). Тоді . У нашому випадку . Таким чином,
Для блоку обробки (норм. закон)
Остаточно,
Клас точності приладу – зведена похибка у відсотках: