Завдання для виконання індивідуальної роботи

№ варіанта	Розв’язати задачу лінійного програмування з використанням інструменту Поиск решения. Визначити з використанням Диспетчера сценариев, як зміниться мінімум, якщо коефіцієнт при першому невідомому у першому рівнянні дорівнює a. Створити Структуру сценариев.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Балансові моделі : системи лінійних алгебраїчних рівнянь

При моделюванні різних фізичних, технічних, економічних, соціальних процесів досить часто доводиться розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь, крім того, багато чисельних методів зводять розв’язок складних математичних задач до розв’язання цих же систем, як більш простого математичного об'єкта з добре розробленою теоретичною базою. Слід зазначити, що для розв’язання таких систем з невиродженою матрицею розроблено багато чисельних методів, серед яких найбільш відомі: метод Гауса в декількох модифікаціях, метод Крамера, матричний метод, метод простої ітерації і його модифікація - метод Зейделя.

На відміну від спеціалізованих математичних пакетів Mathematica, Maple, Matlab, Mathcad, у яких передбачені вбудовані функції для одержання розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, пакет електронних таблиць MS Excel такої вбудованої функції не має. Можна, звичайно, використовувати досить громіздкий підхід, заснований на програмній реалізації в Excel алгоритму методу Гауса, але значно простіше і наочніше можна одержати рішення системи за допомогою деяких вбудованих функцій, що існують в Excel.

Систему лінійних алгебраїчних рівнянь у загальному вигляді можна записати в такому вигляді:

де n - кількість рівнянь чи невідомих.

Якщо матрицю, що складається з коефіцієнтів при невідомих, позначити через A; стовпець невідомих - через X; стовпець вільних членів - через B, тобто

то систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна записати в матричній формі:

. З курсу математики відомо: якщо детермінант (визначник) матриці A відмінний від нуля (det(A)¹0), чи іншими словами, якщо матриця А є невиродженою, то існує зворотна матриця А^-1, для якої виконується умова: , де E - одинична матриця; система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв’язок, який можна обчислити за формулою з використанням вбудованих математичних функцій російськомовної версії Excel:

• МОПРЕД - функція обчислення визначника квадратної матриці;

• МОБР - функція обчислення зворотної матриці;

• МУМНОЖ - функція обчислення добутку двох матриць.

В англомовній версії Excel ці функції називаються відповідно MDETERM, MINVERSE, MMULT.

Приклад. На підприємство надійшло замовлення на виготовлення 10 виробів трьох різних модифікацій. Загальні витрати на виготовлення цих виробів 4400 грн., а планований прибуток від їхньої реалізації 420 грн. Визначити, скільки виробів кожної модифікації виготовлять на підприємстві, якщо відомо, що витрати на виготовлення одного виробу кожної модифікації відповідно 600, 400, 300 грн., а планований прибуток від реалізації одного виробу кожної модифікації дорівнює відповідно 30, 50, 40 грн.

Позначимо через кількість виробів кожної модифікації. Тоді розв’язок задачі зводиться до розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь

_або

Для цієї задачі:

Детермінант матриці А знаходиться в клітинці В6 за формулою =МОПРЕД(A2:C4). Рішення системи має вигляд , де А^-1 - матриця, зворотна до матриці А (рис. 18). В діапазон клітинок G2:G4 вводиться формула =МУМНОЖ(МОБР(A2:C4);E2:E4), і натискається одночасно Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 18.