7.3. Итерационный метод Зейделя
Метод Зейделя является модификацией метода Якоби решения систем линейных уравнений (7.2). Она отличается тем, что при определении значения переменной хi(k+1) на (k+1)-й итерации используются уже вычисленные (k+1)-е приближения неизвестных c предыдущими номерами х1(k+1), х2(k+1), ..., хi-1 (k+1), а также значения последующих неизвестных хi+1(k), хi+2(k), ..., хn(k), полученные на предыдущей k-й итерации.
При этом соотношения (7.4), полученные из (7.3), принимают несколько другой вид:
(7.6)
Соотношения (7.6) задают расчетную схему итерационного метода Зейделя.
Выбор начального приближения, расчеты текущих приближенных решений и условие завершения итерационного процесса по методу Зейделя такие же, как и в методе простой итерации.
Как и для метода простой итерации, для метода Зейделя справедлив достаточный признак сходимости при наличии диагонального преобладания у матрицы системы.
Расчетная схема метода Зейделя ненамного сложнее, чем у метода Якоби. Однако, как правило, у метода Зейделя итерационный процесс сходится к искомому решению системы быстрее, чем при использовании метода последовательных приближений Якоби, либо - при одинаковом числе итераций получаются меньшие погрешности.
Пример 1. Решить, аналогично систему линейных уравнений из примера 1 п. 7.2 методом Зейделя с точностью =0,1:
Решение. Раcчетная схема задачи:
Начальное приближениех(0):х1(0)=(-3)/(-4)=3/4;х2(0) =(-14)/4=-7/2; х3(0) =9/2. Итерации выполняем аналогично методу простой итерации.
Итерация 1:
.
Так как норма приращения вектора решения больше , итерации необходимо продолжить.
Итерация 2:
.
Норма приращения вектора решения больше , итерации необходимо продолжить.
Итерация 3:
.
С учетом точного решения системы (х1 = 1; х2 = -3; х3 = 4) находим абсолютные погрешности хi = хi(и) - хi :
х1 =1/128 0,0078; х2 0; х3 =1/256 0,0039.
Относительные погрешности хi = хi /хi :
х1 0,0078/1=0,0078; х2 0/3 0; х3 0,0039/4 0,0010.
В итоге при одинаковом числе итераций (3) в методе Зейделя погрешность первой компоненты равна такой же погрешности в методе Якоби, а погрешности второй и третьей компонент - меньше аналогичных в методе Якоби.
Вопросы для проверки знаний.
1. В чем отличие расчетной схемы итерационного процесса метода Зейделя от схемы метода Якоби ?
2. В чем заключаются недостатки и преимущества метода Зейделя по сравнению с методом Якоби ?
Практическое задание.
1. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью =0,1:
Для устранения ошибок вычислений все промежуточные результаты найти в рациональном виде. В конце расчета результат округлить с точностью до 4 знаков после запятой. Найти абсолютные и относительные погрешности найденных значений неизвестных.