- •Глава 6. Численные методы алгебры. Решение систем лИнейных уравнений
- •6.1. Линейные уравнения. Теоретическое и практическое решения линейных уравнений с одним неизвестным
- •6.2. Системы линейных уравнений. Основные понятия
- •6.3. Необходимое и достаточное условие существования решения системы линейных уравнений. Методы решения
- •6.4. Прямые методы решения систем линейных уравнений. Метод с использованием обратной матрицы и метод Крамера
- •6.5. Прямые методы решения систем линейных уравнений с исключением неизвестных. Метод Гаусса
- •6.5.1.Метод Гаусса.
- •6.6. Метод Гаусса-Жордана решения систем линейных уравнений
- •6.7.Решение систем линейных уравнений с использованием lu-разложения матрицы системы
- •6.7.1. Идея использования lu-разложения и алгоритм прямого метода расчета
- •6.7.2. Критерии существования lu-разложения. Трудоемкость и сложность его алгоритма
- •6.7.3. Решение системы линейных уравнений с использованием результатов lu-разложения ее матрицы.
- •6.8. Алгоритм расчета определителей с использованием исключения неизвестных
Глава 6. Численные методы алгебры. Решение систем лИнейных уравнений
Линейные уравнения являются наиболее употребительными в математическом моделировании при построении зависимостей между параметрами моделей. Это обусловлено тем, что линейная зависимость параметров наиболее наглядна, имеет самое простое математическое выражение, для которого достаточно полно разработана теория и практические методы решения. Поэтому зачастую на практике при решении нелинейных зависимостей используют линеаризацию их в области искомых значений неизвестных для упрощения методов исследования.
Методы решения систем линейных уравнений - один из основных разделов численных методов алгебры.
Рассмотрим основные понятия теории линейных уравнений и систем линейных уравнений, а также их методы решения с оценкой сложности соответствующих алгоритмов.
6.1. Линейные уравнения. Теоретическое и практическое решения линейных уравнений с одним неизвестным
Линейными относительно неизвестных х1, х2,... хn, называют алгебраические уравнения, содержащие неизвестные только в первое степени. Коэффициенты при неизвестных называют линейными, все остальные коэффициенты - свободными.
Пример 1 линейных уравнений:
1) ах + by = c; - линейное уравнение относительно неизвестных х,y, в котором а и b - линейные коэффициенты, c - свободный коэффициент;
2) 1,2х1 + 4 + 5,08х2 - 13,17х3 - 4,38х1 + 31,75х2 + 1,3 = 3,8х3 - 14,61; - линейное уравнение относительно неизвестных х1,х2,х3, вещественными линейными и свободными коэффициентами.
Каноническим называют такой вид линейных уравнений, при котором все слагаемые, содержащие неизвестные (х1, х2,... хn), находятся в левой части и выполнено приведение коэффициентов при неизвестных (а1, а2,... аn), а приведенный свободный коэффициент (b) стоит в правой части уравнения:
а1х1+ а2х2+...+ аnхn = b. (6.1)
В примере 1 в каноническом виде представлено уравнение 1), уравнение 2) - нет.
Линейными уравнениями с одним неизвестным в каноническом виде называют зависимости типа
а х = b, (6.2)
где х- неизвестное, a, b - постоянные коэффициенты.
Теоретическим достаточным условием существования и единственности решения линейного уравнения (6.2) с одним неизвестным является условие
a 0. (6.3)
При его выполнении решение (6.2) всегда существует, единственно и равно:
х = b / а. (6.4)
Теоретическое достаточное условие (6.3) выводится для идеального представления числовых коэффициентов уравнения и не учитывает реальный характер вычислений - как при ручном, так и при машинном расчетах. На практике из-за наличия погрешностей при задании исходных данных, а также погрешностей расчета практическое достаточное условие существования и единственности решения линейного уравнения (6.2) формулируют в виде:
a , (6.5)
где > 0 - заранее задаваемое положительное число, задающее граничную величину предельной абсолютной погрешности линейного коэффициента a, при которой он уже не считается равным или близким к нулю. Если условие (6.5) выполнено, то решение совпадает с (6.4).
Вопросы для проверки знаний.
1. Какой вид уравнений называют линейным ?
2. Какую форму имеют линейные уравнения канонического вида ?
3. В какой форме формулируются теоретическое и практическое условия существования решения линейного уравнения с одним неизвестным и чем вызвано их различие ?
Практические задания.
1.Привести к каноническому виду линейные уравнения:
a) х + y - 1 + 2x - 2y +3 = y + z + 10;
б) 0,2х1 +2,8х2 + 5,1х3 - 2,2 + 8,1х3 + 1,8х1 + 9,0 = 8,1х1 - 7,5х3 + 6,5;
в) уравнение 2) примера 1.