Лабораторная работа №7. Ауд.408 Определение отношения теплоёмкостей для воздуха методом Клемана-Дезорма.

Цели работы:

1. Изучение метода использования 1 начала термодинамики к исследованию различных термодинамических процессов в идеальных газах.

2. Экспериментальное определение отношения молярных теплоёмкостей для воздуха.

3. Освоение метода теоретического расчёта теплоёмкостей газов при различных процессах.

Оборудование:

1. Стеклянный сосуд с двумя кранами,

2. V - образный водяной манометр,

3. Ручной Насос Шинца,

4. Секундомер.

Краткая теория

Термодинамика изучает системы, состоящие из огромного числа частиц, находящихся в непрерывном хаотическом движении. Методы описания поведения таких сложных систем принципиально отличаются от принятых в механике.

При термодинамическом подходе к изучению таких систем не рассматривают поведение каждой частицы в отдельности и те внутренние механизмы, которые приводят к протеканию тех или иных процессов в системе. Термодинамика использует понятия и физические величины, относящиеся ко всей системе в целом, такие как внутренняя энергия, давление, объём, температура и т. д.

Все теоретические построения термодинамики исходят из весьма общих эмпирических законов, которые называются началами термодинамики.

Первое начало представляет собой закон сохранения и превращения энергии в применении к термодинамическим системам. Второе начало указывает направление развития процессов, протекающих в системе. Третье начало накладывает ограничения на процессы, которые приводили бы к достижению абсолютного нуля температур.

Количество I начало формируются следующим образом:

(I)

Элементарное количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение системой элементарной работы.

Рассмотрим смысл величин, входящих в уравнение (I). - изменение внутренней энергии системы.

С точки зрения статистической физики внутренняя энергия системы состоит из кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул, колебательного движения атомов, потенциальной энергии взаимодействия молекул и атомов в молекулах.

Для идеального газа, где взаимодействие частиц считается пренебрежительно малым, потенциальная энергия взаимодействия принимается равной нулю и формула для расчета внутренней энергии выглядит следующим образом:

(2)

здесь i – число степеней свободы молекулы (см. [I], § 12; [2], § 97). Таким образом, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и, следовательно, может быть однозначно выражена через макроскопические параметры состояния системы: P,V,T.

Поэтому говорят, что U есть функция состояния системы. Изменение внутренней энергии в ходе элементарного процесса, найдем дифференцированием уравнения (2):

(3)

В ходе конечного процесса 1-2 (рис.1) изменение внутренней энергии можно найти интегрированием уравнения (3):

(4)

Из (4) видно, что не зависит от пути перехода системы из состояния 1 в состояние 2, т.к. однозначно определяется через параметры P,V,T конечного и начального состояний.

Рис. 1

δА – элементарная работа, совершенная в ходе бесконечно малого изменения параметров системы. Известная формула из механики для работы может быть преобразована к следующему виду: δА = PdV (5)

В ходе конечного процесса 1-2 работа равна:

(6)

Из этих формул видно, что если система сама совершает работу (dV > 0), то работа положительна и считается отрицательной, если над системой совершает работу (dV < 0). Исходя из геометрического смысла интеграла (см. (6) и рис. I) легко видеть, что работа зависит от типа процесса при переходе из 1-2 (т. е. от пути перехода на рис. I), например, А_В > А_А. поэтому говорят, что работа является функцией процесса. Для того, чтобы рассчитать интеграл в (6), надо знать, по какому закону изменяются параметры Р, V, Т при переходе I 2.

- элементарное количество теплоты. Как и работа, эта величина является мерой изменения энергии системы в ходе процесса. Различие Q и А в том, что если работа оценивает изменение любого вида энергии (механической, электрической, магнитной и т. д.), то количество теплоты без предварительного преобразования в работу (например, в ходе процесса, когда не изменяются внешние параметры системы: при теплообмене нагретого и холодного тела) оценивают только изменение внутренней энергии. Как и в случае работы, количество теплоты, которое потребуется на совершение процесса 1-2 зависит от того, по какому пути будет развиваться процесс (а или в, на рис.1), так что Q также является функцией процесса.

δ Q> 0, если тепло поступает в систему и δ Q< 0, если выходит из системы.

Исходя из вышесказанного ясно, что бессмысленно говорить о величине работы или количестве теплоты в состоянии 1 или 2.

Под теплоемкостью всей системы понимают отношение:

(7)

т.е. она численно равна количеству тепла, необходимого для изменения температуры на один градус. На практике более часто используются понятия удельной (8)

и молярной теплоемкости: (9)

где - количество вещества, выраженное в молях.

Поскольку δ Q – функция процесса, то и С_сист, с, С являются функциями процесса, т.е. зависят от того, при каких условиях осуществляется процесс. Воспользуемся первым началом (1) для анализа некоторых простых процессов и рассчитаем молярные теплоемкости для них:

1. Изохорический процесс. (V = const)

Уравнение процесса следует из уравнения Менделеева Клайперона:

(при m = const) или

Используя (1) и (5) запишем 1 начало в виде: δ Q = dU + pdV (10)

Поскольку V = const, то δА = 0 и δ Q = dU

Т.е. в ходе этого процесса подводимое к системе количество теплоты идет только на увеличение внутренней энергии системы. С учетом (3)

(11)

За счет подводимого тепла повышается температура системы.( δ Q> 0, следовательно dT> 0).

Молярную теплоемкость для этого процесса обозначим С_V:

(12)

Внутренняя энергия (2) может быть выражена через С_V:

(13)

2. Изотермический процесс. (T = const, m = const)

Уравнение процесса: PV = const или P₁V₁ = P₂V₂

Поскольку dT = 0, то dU = 0 и первое начало для этого процесса: δ Q = dА + pdV (14)

Т.е. все подводимое тепло идет на совершение работы, без изменения внутренней энергии. Работу в ходе процесса вычислим, выражая давление через параметры V и T с использованием уравнения Менделеева-Клайперона:

(15)

Теплоемкость этого процесса:

3. Изобарический процесс. (Р = const, m = const)

Уравнение процесса: или

1 начало для этого процесса:

т.е. в ходе этого процесса за счет подводимого тепла изменяется внутренняя энергия и совершается работа(которая идет на изменение объема системы). Работа в ходе этого процесса:

A₁₂=PdV=P(V₂-V₁)

Теплоемкость C_p для изобарического процесса(с учетом (13)):

C_p=_v+P (16)

Дифференцируя ур-е Менделеева-Клапейрона (при P= const, m=const)

PdV = νRdT

Найдем связь между C_p и C_V (уравнение Майера)

C_p = C_V +R (17)

Смысл уравнения ясен из определения понятия C_p (16):

Для подогрева одного моля газа на один градус при изобарическом процессе потребуется количество теплоты численно равное C_p, часть которого пойдет на увеличение внутренней энергии на величину C_V, а остальная часть на совершение одним молем газа работы, численно равной R.

4. Адиабатический процесс. (δQ = 0, m = const)

Система в ходе этого процесса изолирована от окружающих тел и не может обмениваться с ними количеством теплоты.

Первое начало примет вид:

δ U = - δA = - PdV (18)

т.е. если в условиях адиабатической изолированности газ будет расширяться (dU<0) и, наоборот, процесс совершения работы над газом (по его сжатию, dV<0) будет приводить к повышению внутренней энергии газа. Уравнение адиабатического процесса получим, записав уравнение (18) для одного моля газа:

PdV= -C_vdT (19)

Затем продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона для одного моля

PdV + VdP = RdT (20)

Разделим уравнение (20) на (19)

1 + = - 1 + (21)

где , (21) перепишем в виде

после интегрирования имеем:

) = ln const

Тогда уравнение адиабатического процесса имеет вид:

PV = const (22)

называют показателем адиабаты.

Уравнение адиабаты (22) можно записать и через параметры P и T, если исключить объем из (22), используя уравнение Менделеева-Клапейрона:

PT = const (23)