5.5. Квантовый эффект Холла в квантовых ямах
Квантовым эффектом Холла (КЭХ) называется явление, связанное с равенством нулю диагональной компоненты холловской проводимости при определенных значениях магнитного поля. При этом недиагональная компонента принимает значения кратные фундаментальной постоянной.
5.5.1. Классическая теория целочисленного кэх
Уравнение
стационарного движения носителей заряда
в электрическом поле
,
параллельном плоскости квантовой ямы
XY,
и магнитном поле
,
параллельном оси Z,
описывается уравнением, вытекающим из
равенства по величине сил трения и
Лоренца
, (5.59)
где
– время релаксации импульса. Решением
этого уравнения являются компоненты
вектора дрейфовой скорости
,
определяющие компоненты вектора
плотности тока
; 
, (5.60)
где
; 
(5.61)
– диагональная (диссипативная) и недиагональная компоненты тензора линейной холловской проводимости, рассчитанной на единицу ширины КЯ.
В области сильных
магнитных полей (
)
детальный анализ движения носителей
заряда показывает, что недиагональная
компонента проводимости связана с
дрейфом центра вращения заряда в
направлении перпендикулярном плоскости
векторов F
и В,
а диагональная – с изменением импульса
вдоль вектора F
за счет рассеяния. В этом случае
; 
; 
, (5.62)
где является функцией индукции магнитного поля В, т.к. индукция магнитного поля по аналогии с другими упругими механизмами рассеяния является фактором, изменяющим квазиимпульс носителей заряда. Если в объемных полупроводниках зависимостью времени релаксации от магнитного поля по сравнению с влиянием обычных механизмов рассеяния можно пренебречь, в двумерном газе КЯ в области квантующих магнитных полей (см. (2.56)) эта зависимость является существенной. Характерной особенностью этой зависимости является дельтообразное стремление времени релаксации к бесконечности при значениях В, для которых выполняется условие
, (
). (5.63)
Формула (5.63)
получена для полей, в которых все носители
заряда КЯ с поверхностной плотностью
полностью заполняют
уровней Ландау с заданным значением
компоненты спина относительно вектора
индукции магнитного поля. Поверхностная
плотность состояний, соответствующая
этим уровням, в два раза меньше (2.55).
Отсутствие свободных состояний на
уровнях Ландау, описывающих движение
в плоскости двумерного газа, и дискретный
характер энергетического спектра,
связанный с движением перпендикулярным
этой плоскости, приводит к невозможности
рассеяния носителей заряда, что
соответствует бесконечному значению
времени релаксации.
Для магнитных полей, удовлетворяющих условию (5.63), диагональная компонента тензора холловской подвижности равняется нулю. Недиагональная компонента принимает дискретные значения
. (5.64)
Согласно этой
формуле холловская проводимость
квантовой ямы не зависит ни от параметров
образца, ни от магнитного поля, ни от
температуры, а, как и баллистическая
проводимость квантовой нити (5.58),
определяется только значениями
фундаментальных мировых констант e
и
.
На рис. 5.6 а
представлены теоретические зависимости
диагональной и недиагональной компонент
тензора холловской подвижности носителей
заряда в КЯ, описываемые формулами
(5.62), от индукции магнитного поля.