Глава 7. Особенности теоретико-множественных операций реляционной алгебры Объединение

В математике объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств. Поскольку отношение является множеством (точнее, содержит множество), а именно — множеством кортежей, очевидно, что можно получить объединение двух таких множеств. Результатом выполнения этой операции будет множество, состоящее из всех кортежей, которые принадлежат хотя бы одному из исходных отношений. Например, объединение множества кортежей описания поставщиков переменной-отношения S и множества кортежей описания деталей переменной-отношения Р, определенно, будет множеством.

Однако, хотя результатом объединения является множество, оно не всегда будет отношением, поскольку в отношении не может быть кортежей разных типов. Нам же требуется, чтобы результатом операции объединения обязательно было отношение, поскольку необходимо соблюдать свойство реляционной замкнутости. Поэтому объединение в реляционной алгебре — это не обычное математическое объединение, а, скорее, специальный вид объединения, требующий, чтобы отношения на входе были совместимы по типу, т.е. чтобы, например, оба отношения содержали кортежи поставщиков или кортежи деталей, но не комбинацию этих типов кортежей. Если два исходных отношения совместимы по типу, то результат их объединения также будет отношением и свойство замкнутости будет сохранено.

Точное определение оператора реляционного объединения. Для заданных отношений А и В одного и того же типа объединением этих двух отношений (что записывается как А UNION В) называется новое отношение того же типа с телом, состоящим из множества всех кортежей t, которые принадлежат либо отношению А, либо отношению В, либо обоим отношениям одновременно.

Пример. Пусть отношения А и В будут такими, как показано на рис.2 (отношение А представляет поставщиков из Лондона, а отношение В — поставщиков, которые поставляют деталь под номером 'Р1'). Тогда выражение A UNION В (см. рис.2,а) представляет поставщиков, которые или находятся в Лондоне, или поставляют деталь под номером 'Р1' (или и то, и другое). Обратите внимание, что результат имеет три кортежа, а не четыре — повторяющиеся кортежи удаляются по определению. Вопрос удаления дубликатов не возникает в других традиционных операциях над множествами, фактически еще существует только одна операция (помимо объединения), где этот вопрос актуален, - операция проекции.

Рис.6. Примеры операций объединения, пересечения и вычитания.

Пересечение

Как и для оператора объединения, для реляционного оператора пересечения (и по тем же причинам) необходимо, чтобы его операнды были совместимы по типу. Итак, пересечением двух совместимых по типу отношений А и В (что записывается как A INTERSECT В) называется отношение того же типа с телом, состоящим из множества всех кортежей t, которые принадлежат одновременно обоим исходным отношениям А и В.

Пример. Пусть вновь отношения А и В будут такими, как показано на рис.2. Тогда выражение A INTERSECT В (см. рис. 2, б) представляет поставщиков, которые находятся в Лондоне и поставляют деталь под номером 'Р1'.