- •Бесконечно большая функция
- •Бесконечно малые функции
- •Теоремы о пределах
- •Признаки существования предела
- •Непрерывность функции в точке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Определение производной; ее механический и геометрический смысл.
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Замечания:
- •Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •Производные основных элементарных функций
- •Производная сложной и обратной функций
- •Понятие дифференциала функции
- •Геометрический смысл дифференциала функции
- •Основные теоремы о дифференциалах
- •Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •Возрастание и убывание функций
- •Максимум и минимум функций
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Метод непосредственного интегрирования
- •30.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •30.3. Метод интегрирования по частям
- •31.2. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •31. 3. Интегрирование рациональных дробей
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Квадратичные иррациональности
- •33.2. Дробно-линейная подстановка
- •33.3. Тригонометрическая подстановка
- •33.4. Интегралы типа
- •33.5. Интегрирование дифференциального бинома
- •§ 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •Геометрический и физический смысл определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •§ 38. Основные свойства определенного интеграла
- •39.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •39.3. Интегрирование по частям
- •39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
- •§ 40. Несобственные интегралы
- •40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
- •40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
- •§ 41. Геометрические и физические приложения определенного интеграла Додати до моєї бази знань Математика
- •41.1. Схемы применения определенного интеграла
- •41.2. Вычисление площадей плоских фигур
- •41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •41.4. Вычисление объема тела
- •41.5. Вычисление площади поверхности вращения
- •41.6. Механические приложения определенного интеграла
§ 41. Геометрические и физические приложения определенного интеграла Додати до моєї бази знань Математика
41.1. Схемы применения определенного интеграла
Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с є (а; b) на части [а; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; b], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с] и [с; b].
Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).
Первая схема базируется на определении определенного интеграла.
1. Точками х0 = а, x1,..., xn = b разбить отрезок [а;b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на n «элементарных слагаемых» ΔAi (i = 1,...,n): А = ΔA1+ΔА2 +...+ ΔАn.
2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: ΔAi ≈ ƒ(ci)Δxi.
При нахождении приближенного значения ΔАi допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:
3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.
Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.
Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.
Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:
1) на отрезке [а;b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х є [a;b] — один из параметров величины А;
2) находим главную часть приращения ΔА при изменении х на малую величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA = ƒ(х) dx, где ƒ(х), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);
3)считая,что dA ≈ ΔА при Δх → 0,находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:
41.2. Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Как уже было установлено (см. «геометрический смысл определенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу:
Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = ƒ(х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (см. рис. 174).
Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:
1. Возьмем произвольное х Î [а; b] и будем считать, что S = S(x).
2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx (х + Δх є [а; b]). Функция S = S(x) получит приращение ΔS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).
Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ΔS при Δх → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у • dx.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
Формулы (41.1)и (41.2) можно объединить в одну:
Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ2(х) ≥ ƒ1(х)) (см. рис. 175), можно найти по формуле
Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 176), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х = φ(у) ≥ 0 (см. рис. 177), то ее площадь находится по формуле
И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически
прямыми х = а и х = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле
где а и β определяютсяиз равенств х(а) = а и х(β) =b.
Пример 41.1. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = х2 - 2х при х є [0; 3].
Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 178. Находим ее площадь S:
Пример 41.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом х = а cos t, у = b sin t.
Решение: Найдем сначала 1/4 площади S. Здесь х изменяется от 0 до а, следовательно, t изменяется от ПИ/2 до 0 (см. рис. 179). Находим:
Таким образом . Значит, S = πаВ.
Полярные координаты
Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r=r(φ) и двумя лучами φ=а и φ=β (а < β), где r и φ — полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II — метод дифференциала.
1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т. е. S = S(φ), где а ≤φ≤β (если φ = а, то S(a) = 0, если φ=β, то S(β) = S).
2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади AS равно площади «элементарного криволинейного сектора» OAB.
Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ→0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисунке она заштрихована) радиуса r с центральным углом dφ. Поэтому
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = а до φ = β, получим искомую площадь
Пример 41.3. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепесткoвой розой» r=acos3φ (см. рис. 181).
Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е.1/6часть всей площади фигуры:
т. е. . Следовательно,
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке 182, имеем: