- •Тема 5. Регрессионный анализ § 5.1. Простая линейная регрессионная модель и оценивание по методу наименьших квадратов
- •5.2. Проверка гипотез и доверительные интервалы
- •§ 5.3. Множественная линейная регрессия и ее исследование
- •§ 5.4. Проверка адекватности регрессионной модели
- •§ 5.5. Анализ остатков
- •Р ис. 5.3. Примеры графиков остатков. А – адекватная модель;
- •§ 5.6. Интерпретация оценок параметров линейного уравнения множественной регрессии
- •§ 5.7. Понятие о нелинейной регрессии
- •§ 5.8. Вопросы для самопроверки
- •§ 5.9. Задачи
- •Тема 6. Однофакторный дисперсионный анализ § 6.1. Постановка задачи
- •Представление данных для однофакторного дисперсионного анализа
- •§ 6.2. Проверка гипотез
- •§ 6.2. Вопросы для самопроверки
- •§ 6.3. Задачи
§ 5.6. Интерпретация оценок параметров линейного уравнения множественной регрессии
При интерпретации регрессионных коэффициентов принимаются во внимание единицы измерения зависимой и независимых переменных (смотри «Простая регрессия»). Для определения степени влияния независимой переменной на зависимую без учета единиц их измерения можно вычислить коэффициенты эластичности (кратко эластичность):
,
где y* и – значения зависимой и k-ой независимой переменных, определяющие точку уравнения регрессии, для которой вычисляется коэффициент эластичности. Чаще всего для этого используются значения средних арифметических . Для линейного уравнения регрессии
.
Тогда оценка эластичности
.
Оцененная эластичность интерпретируется следующим образом. Если при прочих равных условиях независимая переменная изменится на один процент, то зависимая переменная изменится на процентов.
Для примера о росте и весе женщин
,
т.е. если рост увеличится на один процент, то вес увеличится на 2,02 процента.
§ 5.7. Понятие о нелинейной регрессии
Имеется большое число ситуаций, для которых линейная модель непригодна, например, когда зависимость выражается суммой экспоненциальных и/или тригонометрических функций. В этом случае линейная модель не будет удовлетворительной аппроксимацией, а простое преобразование переменных, приводящих к ней, отсутствует. Любая математическая модель, вид которой не совпадает с уравнением
,
называется моделью нелинейной регрессии и может быть представлена в виде
где f ( ) – нелинейная функция параметров , а – некоррелированные ошибки. Приведем два примера нелинейной функции
Для нелинейной регрессии отсутствуют методы получения наилучших оценок параметров.
Однако метод максимального правдоподобия позволяет получить оценки, обладающие такими свойствами, как состоятельность и асимптотическая эффективность при достаточно общих условиях. Более того, если ошибки i суть независимые случайные величины с распределением оценки максимального правдоподобия совпадают с оценками метода наименьших квадратов, которые минимизируют сумму квадратов ошибок
.
В случае нелинейной регрессии приходится решать систему нелинейных уравнений и соответствующие МНК-решения нельзя представить в явном виде. По этой причине используют различные итерационные методы для численного определения МНК-оценок.
Приведем примеры типичных задач регрессионного анализа, с которыми приходится иметь дело экономисту.
1. Функция цены. Цена товара в период t зависит (является функцией) прежде всего от объемов его поставок в данный период и от цен конкурирующих товаров. На сколько изменится цена данного товара в результате изменений объемов поставок или цен конкурирующих товаров?
2. Функция спроса. Величина спроса на определенный товар в период t зависит прежде всего от цены этого товара, от цены товаров, производимых конкурентами, а также от реальных доходов потребителей в данный период. Определить, как зависит спрос от названных факторов.
3. Функция издержек. Средние издержки производства на предприятии в период зависят в основном от цен и используемого количества производственных ресурсов. Определить, как зависят средние издержки от названных факторов.
4. Функция чувствительности рынка. Допустим, что объем сбыта продукции (Y) зависит от затрат на рекламу (Х1) и индекса «чистоты» производимой продукции (Х2), который должен быть для соответствующего предприятия важным «экологическим индикатором». Определить зависимость Y от Х1 и Х2.
5. Уравнение стратегии предприятия. Предприятия отрасли, работающие примерно в одинаковых условиях, имеют разные результаты хозяйственной деятельности. Как функционально зависит рентабельность предприятия от таких определяющих факторов, как его удельный вес на рынке товаров, качество товаров, расходы на маркетинг, научные исследования и развитие, инвестиционные расходы?