ГОУ СПО «Дивногорский Лесхоз техникум»

Кабинет математики

Исследовательская работа

по теме:

«Непрерывные дроби»

Выполнил: Коновалова Н.И., 11Э.

Проверил: Коновалова Е.Г

Содержание

Введение

Глава I. Основная часть

1. _{История}

2. Непрерывные дроби – общие сведения

3. Мотивация

Приложения

1. Свойства золотого сечения

2. Теория календаря

3. Решение сравнений первой степени

Заключение

Используемая литература

Введение

Целью моей исследовательской работы является теория цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Задачи:

1. Найти информацию о непрерывных дробях.

2. Понять, что такое непрерывные дроби.

3. Создать отчет, содержащий подробное описание проделанной работы ( исследовательская работа).

Методы исследования:

1. Анализ

2. Подбор информации

Глава 1.

1. Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение — это 12-я подходящая дробь для или от 4-й подходящей дроби для .

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа π (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.