-
Мінори і алгебраїчні доповнення визначника
Нехай задано визначник -го порядку .
Означення 1. Мінором -го порядку визначника називається визначник -го порядку, утворений з елементів визначника , що знаходяться на перехрещенні виділених рядків і стовпців визначника .
Означення 2. Доповняльним мінором мінора називається визначник порядку , отриманий з визначника викресленням тих рядків і тих стовпців, що входять у мінор .
Означення 3. Алгебраїчним доповненням мінора називається, доповняльний мінор , взятий зі знаком , де – сума номерів рядків і стовбців, у яких знаходиться .
-
Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
Лема (про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ).
Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени входять в М∙А і в d з одними і тими ж знаками.
Доведення . При доведенні розглядають 2 випадки.
1) Окремий випадок. Мінор М розташований в перших k рядках і в перших k стовпцях визначника d.
З'ясуємо, як пов'язані алгебраїчні доповнення і доповняльний мінор.
A=M'(-1)1+2+…+k+1+2+..+k = M'(-1)2(1+2+..+k)=M'
Розглянемо добуток М на А. М - алгебраїчна сума k! доданків.
(1) а1α1.а2α2….аnαn - загальний член, де
α1,α2,…,αk - перестановка з 1,2,…,k елементів
Причому цей член (1) входить в М із знаком, який визначається парністю перестановки
Нехай α1,α2,…,αk має і1 інверсію, тоді загальний член М
(-1)i1а1α1.а2α2….аkαk
Загальний член А=М:
аk+1αk+1.аk+2αk+2….аnαn (2)
αk+1,αk+2,…,αn - перестановки з k+1,k+2,…,n
З'ясуємо, з яким знаком (2) входить до М:
Нехай αk+1,αk+2,…,αn має і2 інверсій, тоді загальний член М' буде
(-1)i2аk+1αk+1.аk+2αk+2….аnαn
Тоді загальний член М∙А буде набувати вигляду(3):
(-1)i1а1α1.а2α2….аkαk∙ (-1)i2аk+1αk+1.аk+2αk+2….аnαn=
=(-1)i1+i2а1α1.а2α2….аkαk∙аk+1αk+1.аk+2αk+2….аnαn
Якщо розглянути (3) без знака, то бачимо що це буде якийсь член визначника n-го порядку d, тому що з кожного рядка і стовпця взято по одному елементу.
З'ясуємо, з яким знаком цей член входить до визначника d. Для цього треба скласти підстановку з перших і других індексів
Розіб'ємо нижню перестановку на 2 частини. В І частині і1 інверсія за припущенням, в ІІ - і2 інверсія за припущенням. Жодний символ ІІ частини не утворює інверсій з символам І частини, тому що найменший символ ІІ частини k+1, найбільший символ І частини - k. Тому загальна кількість інверсій в нижній перестановці і1+і2.Таким чином, ми довели, що член (3) входить до М∙А і до визначника d з одним і тим же знаком (-1)i1+i2
Окремий випадок доведено.
2) Загальний випадок. Нехай мінор М знаходиться в рядках з номерами m1<m2<…<mk і стовпцями з номерами j1<j2<…<jk
За допомогою перестановки рядків і стовпців заженемо вільно розташований мінор в лівий верхній кут. Ми хочемо, щоб m1 рядок був на 1-му місці, m2 - на 2-му, mk - на k-му. Тобто над рядком m1 зробимо m1-1 транспозицію, над рядком m2 - m2-2 транспозицію, над рядком mk - mk-1 транспозицію. Над j1стовпцем зробимо j1-1 транспозицію, над j2стовпцем зробимо j2-2 транспозицію, над jkстовпцем зробимо jk-1 транспозицію. Підрахуємо, скільки взагалі зроблено транспозицій:
S=(m1-1)+(m2-2)+…+(mk-k)+(j1-1)+(j2-2)+…+(jk-k)=
=m1+m2+…+mk+j1+j2+…+jk-2(1+2+…+k)
Таким чином, ми змінили при цих перетвореннях знак визначника S раз. Одержали d1
Між цими визначниками існує співвідношення:
d=(-1)Sd1=(-1)Sm-2(1+2+..+k)d1=(-1)Smd1(4)
Для визначника d1 в І випадку було доведено, що М∙М' є d1. Якщо всі ці члени ми помножимо на (-1)Sm тоді (-1)Sm М∙М' є d1(-1)Sm, тобто M∙A є d.
Теорема Лапласа. Якщо в визначнику d виділити k рядків, то визначник d дорівнює сумі добутків всіляких мінорів k-го порядку, розташованих в цих k рядках, на їх алгебраїчні доповнення.
Доведення.
Нехай задано визначник d.
Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це будуть мінори М1,М2,…,Мs. Побудуємо до кожного з мінорів його алгебраїчне доповнення. Треба довести, що d = M1A1+M2A2+…+MsAs.
Для доведення рівності доведемо 2 факти: кожний член d належить правій частині, і навпаки, кожний член правої частини є членом лівої частини. Другий факт безпосередньо випливає з леми про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення. Доведемо перше. Візьмемо загальний член визначника d.
а1α1.а2α2…аkαk∙аk+1αk+1.аk+2αk+2…аnαn, де α1,α2,…,αn - перестановка з 1,2,…,n
Розіб'ємо загальний член на дві частини . Таким чином, ми довели, що а1α1.а2α2…аkαk∙аk+1αk+1.аk+2αk+2…аnαn
Для того, щоб збігались знаки розглянутого члена в d з М∙М', треба замінити А1 (це випливає з леми). Таким чином, перший факт також доведений.
Наслідок. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.
Нехай в теоремі Лапласа k=1.
Виділимо і-ий рядок. Тоді мінорами І порядку, розташованими в цьому рядку, будуть елементи цього рядка.
З цього наслідку випливає, що обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n-1)-го порядку. Користуючись властивістю 8) визначників можна звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення лише одного визначника (n-1)-го порядку.
Для цього доведемо, що в будь-якому рядку (якщо не всі елементи рядка нулі) за допомогою властивості 8) можна отримати всі нулі, крім одного.
Нехай . Зробимо такі перетворення. До другого стовпця додамо перший, помножений на , …, до n-стовпця – перший помножений на . Тоді отримаємо
Таким чином, обчислення визначника n-го порядку зведено попереднім перетворенням до обчислення визначника (n-1)-го порядку