- •Основы кинематики.
- •1.2. Основы динамики.
- •1.3. Законы сохранения в механике.
- •1.4. Механика твердого тела.
- •1.5. Релятивистская динамика.
- •2. Замедление времени. ,
- •1.6. Механические колебания
- •Свободные гармонические незатухающие колебания.
- •2. Свободные затухающие колебания
- •3. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •1.7. Механические волны.
- •1.8. Основы молекулярно-кинетической теории вещества
- •1.9. Функции распределения максвелла и больцмана.
- •1.10. Основы термодинамики
- •2.1. Электрическое поле в вакууме
- •2.2. Электрическое поле в веществе.
- •Электрический ток.
- •2.4. Магнитное поле в вакууме.
- •Магнитное поле в веществе
- •2.6. Основы теории электромагнитного поля.
- •Ток смещения
- •2. Всякое изменяющееся во времени электрическое поле порождает вихревое магнитное поле.
- •Электромагнитные колебания
- •2.8. Электромагнитные волны.
- •Интерференция и дифракция света .
- •3.2. Поляризация и дисперсия света.
- •3.3. Тепловое излучение.
- •3.4. Фотоэффект. Эффект комптона. Давление света.
- •3.5. Основные положения квантовой механики.
- •3.6. Квантовая теория атома.
- •3.7. Элементы физики твердого тела.
- •3.8. Ядро атома.
- •3.9. Элементарные частицы.
2. Свободные затухающие колебания
При наличии силы трения (r ≠0) и отсутствии внешней периодической силы (F0 =0) уравнение движения имеет вид: (8),
г де β называется коэффициентом затухания колебаний. В случае слабого затухания (β – мало) решением такого дифференциального уравнения является функция : (9). В этом можно убедиться прямой подстановкой (9) в уравнение (8). – частота колебаний системы с затуханием. A=A0·e-βt – амплитуда затухающих колебаний.
Таким образом, амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. Вместе с амплитудой убывает также и энергия колебаний W, т.к. W~A2.
Степень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания β. Время τ=1/β, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е=2.7183 раз, называют постоянной времени затухания колебаний.
Скорость уменьшения амплитуды за период характеризует величина θ, называемая логарифмическим декрементом затухания. По определению:
(10).
Скорость убывания энергии в системе с затуханием характеризует добротность Q:
(11),
где W – энергия, запасенная в системе, (–ΔW) – энергия, теряемая системой за период. Добротность показывает, во сколько раз энергия, запасенная в системе, больше энергии, теряемой за период. Добротность в (11) выражена через параметры системы и логарифмический декремент затухания θ, с учетом того, что W~A2.
В случае сильного затухания () колебательный процесс не развивается: система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, просто медленно возвращается к нему. Это т.н. апериодический процесс.
3. Вынужденные колебания. Резонанс.
Для того чтобы возбудить в системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением (сопротивлением). Такая компенсация может производиться внешними по отношению к колебательной системе источниками энергии. Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы F(t). Под влиянием этой силы в системе возникнут колебания, происходящие в такт с изменением силы; эти колебания называются вынужденными.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид (2):
(12).
Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2 порядка; его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения есть решение уравнения колебаний с затуханием, рассмотренное ранее. Рассмотрим частное решение неоднородного уравнения: x =A ·cos(Ωt –φ ) (13), описывающее установившиеся колебания с частотой Ω вынуждающей силы.
Величины амплитуды A и сдвига фазы φ по отношению к фазе вынуждающей силы зависят от соотношения между собственной частотой ω0 системы и Ω, а также от затухания, действующего в системе:
; (14).
При некоторой частоте Ω0 вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Это явление называется резонансом (резонансом смещения). На рис. изображены резонансные кривые для трех значений коэффициента затухания β. Частота ωрез = Ω0 называется резонансной частотой. Ее значение можно найти, исследовав на минимум подкоренное выражение для A в формуле (14): (15).
Амплитуда при резонансе получается подстановкой Ω0 в выражение для амплитуды:
(16).