1.3. Законы сохранения в механике.

Механическая работа.

В механике характеристикой такого действия сил, которое вызывает перемещение тел, явля­ется работа.

В случае, когда тело движется прямолиней­но, а сила , действующая на тело, постоянна, работа А₁₂ по перемещению тела из точки 1 в точ­ку 2, т.е. на пути s₁₂ , определяется следующим образом:

Здесь F_r–проекция силы на направление пере­мещения, величина в круглых скобках – скаляр­ное произведение силы на перемещение , а α – угол, который составляет сила с направле­нием перемещения ; в данном случае . Работа представляет собой величину скаляр­ную и алгебраическую. Если α < 90⁰ , то работа A₁₂ положительна. При α > 90⁰ работа отрицательна. В случае, когда сила все время перпендикулярна перемещению (α = 90⁰ ) (центростремительная сила), ее ра­бота равна нулю.

В общем случае движения по криволинейной траектории весь путь 12 разбивается на малые уча­стки dℓ, которым соответствуют векторы беско­нечно малых перемещений . Тогда на каждом таком участке силу можно считать постоянной и ее работу равной , а полная работа находится как сумма (интеграл) элементарных работ на участках dl, на которые разбивается участок 12, :

.

Потенциальное поле сил. Связь между силой и потенциальной энергией.

Силы, работа которых не зависит от формы тра­ектории тела, а определяется только его началь­ным и конечным положениями, называются кон­сервативными или потенциальными. Работа потенциальных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Примером консервативных сил явля­ются сила тяготения, сила тяжести и упругая сила.

В системе, где действуют только потенциаль­ные силы, всякая работа этих сил связана с изме­нением конфигурации тел системы. Если силы, действующие в системе, совершают положительную работу, то конфигурация при этом всегда изменяется так, что в конце концов способность системы совер­шать работу оказывается исчерпанной. Значит, всякая система тел, в которой действуют потен­циальные силы, обладает определенным ограни­ченным запасом работы, которую эти силы мо­гут совершить. Этот запас работы, обусловленный конфигурацией тел системы, представляет собой потенциальную энергию системы.

Например, потенциальная энергия Е_ПОТ растяну­той на величину х пружины есть вся работа, кото­рую может совершить упругая сила F = –k·x при сокраще­нии пружины до нормальной длины:

В этом случае потенциальная энергия пред­ставляет собой энергию упругой деформации.

Если тело падает вниз, то сила тяжести мо­жет совершить некоторую определенную рабо­ту, величина которой зависит от начальной вы­соты тела. Значит тело, поднятое на некоторую высоту h, обладает потенциальной энергией: Е_ПОТ=mgh, где h – начальная высота тела над уровнем, от которого отсчитывается потенциаль­ная энергия тела.

Потенциальная энергия всегда связана с той или иной силой взаимодействия тел, поэтому и аналитический вид потенциальной энергии за­висит от рассматриваемых сил. Физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а ее изменение ΔЕ_ПОТ . Это изменение ΔЕ_ПОТ = Е_ПОТ2 – Е_ПОТ1, определено так, что оно равно рабо­те со знаком минус, совершаемой потенциальной силой при переходе тела из точки 1 в точку 2:

В дифференциальной форме последнее вы­ражение принимает вид:

.

Величина gradЕ_ПОТ или называется градиентом функции Е_ПОТ и в

декартовой системе координат имеет вид:

,

где – частные производные функции Е_ПОТ по координатам. Вектор направлен в сторону уменьшения потен­циальной энергии Е_ПОТ(x,y,z).

Так как производная обращается в нуль в точ­ках, где функция достигает максимума или минимума, то сила в местах максимума и ми­нимума потенциальной энергии

Е_ПОТ {x,y,z) равна нулю. Это по­ложения неустойчивого и устойчивого равновесия.

Работа силы , действующей на частицу при ее перемещении на :

. Выражение в скобках – энергия, которой обладают движущиеся тела (частицы), или кинетическая энергия : . Т.о., работа внешней силы приводит к изменению кинетической энергии: .

В общем случае, энергия – наиболее общая и универсальная характеристика движения материи и процессов, связанных с превращением различных форм движения друг в друга.

Законы сохранения в механике.

Любое тело или совокупность тел можно рас­сматривать как систему материальных то­чек. Состояние системы характеризуется зада­нием координат и импульсов всех ее частей. Зная законы действующих в системе сил и со­стояние системы в начальный момент, можно с помощью дифференциальных уравнений ди­намики определить состояние системы в любой момент времени. Но часто ввиду сложности систем и процессов, происходящих в них, не­возможно до конца провести подобное решение.

В системе взаимодействующих тел координаты, скорости и ускорения тел постоянно меняются. Однако, существуют три физические величины, которые в замкнутой системе (системе не взаимодействующей с внешними телами) остаются неизменными (сохра­няются). Такими величинами являются импульс, энергия и мо­мент импульса (об этой величине ниже). Особенно важная роль этих ве­личин связана с тем, что они являются адди­тивными: их значения для системы, состоящей из частей, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности.

Закон сохранения механической энер­гии: в инерциальной системе отсчета полная механическая энергия замкнутой системы час­тиц, в которой действуют только консервативные силы, сохраня­ется:

E = Е_КИН + Е_ПОТ = const.

Сохраняется именно полная механическая энергия, в то время как кинетическая и потенци­альная энергии по отдельности могут меняться. В основе закона сохранения механической энергии лежит свойство однородности времени, которое проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени. Например, потенциальная энергия поднятого на некоторую высоту тела не меняется с течением времени. Если бы это было не так, то можно было бы поднять тело, дождаться момента, когда его энергия увеличится, и заставить тело совершить работу. Мы получили бы вечный двигатель, работающий за счет разности энергий: возросшей с течением времени и затраченной на подъем тела.

Закон сохранения импульса: в инерциаль­ной системе отсчета импульс замкнутой системы частиц остается постоянным как по величи­не, так и по направлению, т.е. .

Действительно, из уравнения движения следует для замкнутой системы (), что импульс системы остается постоянным.

При этом импульсы отдельных частей систе­мы могут меняться. У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс, а его про­екция на то направление, по которому сумма проекций действующих сил равна нулю. В основе закона сохранения импульса лежит свойство однородности пространства, которое проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора положения начала координат. Если бы пространство было неоднородным, т.е. точки пространства были бы неэквивалентны, то при движении свободного тела эта неэквивалентность проявилась бы в изменении импульса (появлении ускорения).

С помощью законов сохранения можно, не решая уравнений динамики, сделать во многих случаях ряд заключений о свойствах процессов, не вникая в их детальное рассмотрение.

Законы сохранения представляют собой об­щие фундаментальные принципы и отражают свойства пространства и времени.