4. Диссипативные системы
Диссипативные системы представляют собой весьма широкий и важный класс естественных систем. Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния систем используются коллективные переменные (температура, концентрация, давление, конвективная скорость и др). При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется их важная особенность: уравнения не инвариантны относительно операции обращения времени.
Уравнение эволюции диссипативных систем
xi/ t = Fi (x1, x2, .., xn, r, t, ..). (1)
Fi могут сколь угодно сложным образом зависеть от переменных x и их пространственных производных и явным образом - от пространственных координат r и времени t.
1) Если в этом уравнении совершить операцию обращения времени t* = - t, то по меньшей мере одна из функций Fi, соответствующая четной переменной xi, должна будет содержать инвариантную часть, в то время как функция Fi,, соответствующая нечетной переменной xi, должна будет содержать часть, меняющую знак при обращении времени.
Концентрация и температура - примеры четных переменных. Импульс частиц, конвективная скорость жидкости - нечетные переменные
2) Второе существенное различие между консервативными и диссипативными системами связано со вторым законом термодинамики и его многочисленными следствиями.
Фазовое пространство диссипативных систем включает ансамбль имеющихся переменных. В случае непрерывной среды - это бесконечномерное пространство, в котором различные характеристики системы являются пространственно распределенными величинами. Удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит дискретное число переменных и когда это число конечно и невелико.
3) Особо стоит вопрос о связи между консервативными и диссипативными системами, а также вопрос о возможности перехода от одного описания к другому
Микроскопические взаимодействия. В любой физической системе имеют место межмолекулярные взаимодействия. Они, главным образом, обусловлены силами электромагнитной природы. Эти короткодействующие силы, они исчезают, как только расстояния между взаимодействующими частицами превысят несколько межмолекулярных расстояний (несколько A ).
В очень нагретых системах или же системах с низкой плотностью межмолекулярные силы заметным образом не проявляются. При этом наблюдается явное доминирование кинетической энергии, что приводит к неупорядоченному поведению вещества. При понижении температуры вещества (повышении давления) кинетическая и потенциальная энергии стремятся поменяться ролями. В конце концов начнут доминировать межмолекулярные взаимодействия. Система при этом будет иметь такую конфигурацию, в которой соответствующая потенциальная энергия получит минимальное возможное значение.
Это очень напоминает движение тела, перемещающегося по некоторой поверхности под действием силы тяжести в самую глубокую впадину и затем колеблющегося около этого положения механического равновесия.
Пространственные структуры возникают в результате фазовых переходов. Структура системы характеризуется определенной микроскопической длиной (порядка нескольких А), сравнимой с радиусом этих взаимодействий. Обусловленная фазовыми переходами упорядоченность приводит к структурам типа “окаменелостей”.
Макроскопические переходы. Пространственные масштабы после становятся макроскопическими, сравнимыми с масштабами самой системы. В системе кроме пространственных структур могут возникать и длительно существовать разнообразные явления, зависящие от времени и также проявляющиеся в макроскопических масштабах.
Организующим фактором при макропереходах являются уже не фазовые переходы и равновесия, а, напротив, неравновесность системы, переход которой к равновесию уже не может происходить только за счет межмолекулярных взаимодействий. В условиях неравновесности система приобретает макроструктуру. В ней выделяются части, содержащие громадное число молекул, возникают новые явления, обусловленные состоянием вещества и характеризуемые крупномасштабными корреляциями. Возникающее при макроскопическом переходе сложное поведение можно рассматривать как фазовый переход нового типа (неравновесный фазовый переход), в результате которого в системе создаются и усиливаются особые неравновесные условия. Эти условия проявляются в нарушениях симметрии. Системы в неравновесном состоянии способны осуществлять бифуркационные переходы к новым состояниям, и эта их способность делает неравновесное состояние непохожим на любое состояние равновесия.
Если система находится в равновесии, то она будет пребывать в нем сколь угодно долго, а характеристики системы при этом будут сохранять свои значения неизменными во времени.
Механическое равновесие. В механике равновесие представляет собой особое состояние, в котором скорости и ускорения всех материальных точек равны нулю, и в силу этого результирующая сила, действующая на каждую точку равна нулю в любой момент времени.
Термодинамическое равновесие. При термодинамическом равновесии входящие в систему молекулы подвержены действию несбалансированных сил и движутся под действием этих сил (если только температура не становится чрезвычайно низкой) в любых возможных направлениях.
Понятие термодинамического равновесия относится к коллективным характеристикам системы в целом (температура, давление. концентрация). На рисунке схематически представлено взаимодействие системы и окружающей среды. Наборы переменных xi и xie (химический состав, температура, давление, ..) характеризуют обменные процессы между системой в целом и средой.
При термодинамическом равновесии характеристики среды и системы имеют одинаковые значения в любой момент времени в любой точке системы. В равновесии различные части системы между собой термодинамически неразличимы.
При наличии внешних сил могут возникать дополнительные переменные, характеризующие термодинамическое равновесие (электрическое поле, механическое напряжение и др.).
При термодинамическом равновесии xi / t = 0.
Однако, это равновесие специального типа, так как равновесие определяется только применительно к взаимодействию системы и среды и только относительно переменных из конкретного набора.
Так, для рассматриваемого примера равновесие обусловлено равенством химических составов, температур, и давлений. Это означает, что никаких систематических обменов тепловой (T- температура), механической энергией (P - давление) или веществом (С - концентрация) между системой и средой не происходит. При равновесии в этих каналах обменных процессов системе больше нечем обмениваться с внешней средой.
Это условие формулируется в виде равенства нулю полных потоков (Jei = 0) в системе. Однако, это равенство не является абсолютным, застывшим. Оно означает, что если, например, в какой-то малой части системы возникнет некоторое незначительное нарушение равенства T = Te, то обязательно найдется обратный процесс, способный обеспечить противоположный вклад в тепловой поток Ji такой, при котором вновь восстановится равенство Ji = 0.
Подобное равновесие в деталях есть проявление обратимости во времени элементарных процессов в системе, описываемой консервативными уравнениями. Именно оно ответственно за большинство фундаментальных свойств равновесия, как например, свойств единственности и устойчивости.
Неравновесные ограничения. В неравновесных состояниях в системе имеются неисчезающие потоки, ориентированные от системы в среду и из среды в систему, и различия в значениях некоторых переменных xi и xei.
Эти различия могут иметь переходный характер - они могут мгновенно возникать благодаря некоторому начальному условию и постепенно релаксировать по мере установления равновесия между системой и внешней средой.
Эти различия могут быть постоянными, если создать и поддерживать соответствующие условия (ограничения). Вследствие постоянного или временного действия ограничений в неравновесном состоянии детального равновесия уже нет.
Режим неравновесного состояния характеризуется способностью к изменениям - небольшие локальные отклонения от него не обязательно компенсируются постоянно возникающим противодействием (типичным для режима детального равновесия).
Эти малые отклонения могут быть усвоены или даже усилены системой, становясь тем самым причиной и источником новообразований и разнообразия.
1 Мандельштам Л.И Лекции по теории колебаний.
2. Андронов А.А., [Витт А.А.], Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1987.
3 ОДУ – обыкновенные дифференциальные уравнения (уравнения с одной переменной).
Фомин Б.Ф. Диссипативные системы. 2011.- 18 с.