Контрольная работа 1 семестр

Вариант № 2

1. Найдите и нарисуйте на координатной плоскости область определения функции .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определите какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300д.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 3 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 3

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции .

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определите какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 5 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 4

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (1; 4) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции

при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 200ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант 5

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (1; 4) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 500 ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 6

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (1; 4) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции

при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 330ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 4 д.ед., р₂ = 2 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них приразличных значениях u .

Вариант № 7

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 4) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции

при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300ден.ед., если его функция полезности имеет вид: , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 8

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (9; 4) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 500ден.ед., его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед., Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 9

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (1; 2) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции

при .

6. Функция полезности потребителя имеет вид: . Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 500 ден.ед., если цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u..

Вариант № 10

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 5 д.ед., р₂ = 4 д.ед., Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант №11

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 0) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Функция полезности потребителя имеет вид: . Найдите функции спроса. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 12

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 400 ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 13

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите точки условного экстремума и условные экстремумы функции при условии .

6. Функция полезности потребителя имеет вид: . Определите какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 400 ден.ед., если цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 14

1. Найдите и нарисуйте на координатной плоскости область определения функции .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (1; 3) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции

при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 15

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (0,5; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции

при .

6. Функция полезности потребителя имеет вид: . Определите какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 400 ден. ед., если цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 16

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 330ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 4 д.ед., р₂ = 3 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант №17

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции

при .

6. Определите какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300д.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 18

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определите какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300д.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 3 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант №19

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции

.

Найдите градиент функции z в точке F (2; 1) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определите какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 5 д.ед., р₂ = 4 д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

Вариант № 20

1. Найдите область определения функции и нарисуйте ее на координатной плоскости .

2. Найдите все частные производные 1-ого порядка для функции .

Найдите градиент функции z в точке F (1; 4) и производную по направлению вектора в этой же точке F.

3. Постройте линии уровня для функции .

4. Исследуйте на экстремум функцию .

5. Найдите условный экстремум функции при .

6. Определить какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 200ден.ед., если его функция полезности , а цены единицы товара р₁ = 2 д.ед., р₂ = 4д.ед. Напишите уравнения линии безразличия и нарисуйте три из них при различных значениях u .

3. Контрольная работа по теме 3, 1-й семестр

Вариант № 1

1.; 2.;

3.; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ;

9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): y = 2x², y = 2x;

10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): y = x²  2х, y = 6  х;

11. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): ; х = 4; у = 0;

12. ; 13. ; 14. .