- •Методичні вказівки з рішення задач по темам курсу
- •Тема: зведення і групування статистичних даних
- •4.2. Тема: абсолютні та відносні величини
- •4.3.Тема: середні величини у статистиці
- •Види середніх величин:
- •4.4.Тема: статистичне вивчення варіації
- •4.5.Тема: ряди динаміки
- •4.6.Тема: індекси
- •Формули побудови індексів:
- •4.7. Тема: вибіркові спостереження
- •Уманець т.В., Пігарєв ю.Б. Статистика : Навч. Посіб. 2-ге вид., випр. – к.: Вікар, 2003.
- •Статистика. Підручник / а.В. Головач, а.М. Еріна, о.В. Козирев та ін.: За ред. А.В. Головача, а.М. Еріної, о.В. Козирева. – к.: Вища шк., 1993 623 с.
4.3.Тема: середні величини у статистиці
При підготовці до даної теми необхідно звернути увагу на наявність декількох засобів розрахунку середніх величин.
Середньою величиною в статистиці називається характеристика однотипних явищ, що свідчить про типовий рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності.
Види середніх величин:
-
Середня арифметична найчастіше часто застосовується в розрахунках. Вона буває простою і зваженою.
Застосовується в тих випадках, коли відомий обсяг сукупності (m) і частота ознаки (f), або значення ознаки (х) і частота ознаки (f).
Середня арифметична проста розраховується по формулі:
де - середнє значення ознаки;
xi - варіанта (конкретне значення ознаки);
n - число варіант.
Застосовується, коли кожна варіанта (ознака) зустрічається один раз або однакову кількість разів.
Наприклад:
Заробітна плата трьох робітників: 150 грн; 170 грн; 200 грн.
Визначити середню заробітну плату робітників.
Середня арифметична зважена розраховується за формулами:
де - середнє значення ознаки;
х - варіанта;
f - частота ознаки;
m - обсяг сукупності (m = x f );
- відносна частота (питома вага частоти ознаки в загальному обсязі).
ТИПОВА ЗАДАЧА
Розрахувати середню заробітну плату робітників виходячи з таких умов:
Таблиця 8
Цех |
Ситуація 1 |
Ситуація 2 |
Ситуація 3 |
|||
Заробітна плата грн./люд |
Кіль-кість робітників, люд. |
Фонд оплати праці , грн. |
Кіль-кість робітників, люд . |
Заро-бітна плата, грн/ люд |
Питома вага робітни-ків у загаль-ній кількос-ті , % |
|
(x) |
(f) |
(m) |
(f) |
(x) |
() |
|
1 |
200 |
320 |
4000 |
20 |
200 |
10.0 |
2 |
160 |
150 |
24000 |
150 |
160 |
75.0 |
3 |
130 |
30 |
39000 |
30 |
130 |
15.0 |
Ра-зом |
- |
200 |
31900 |
200 |
- |
100 |
Середня заробітна плата робітників:
Ситуація 1:
Ситуація 2:
Ситуація 3:
-
Середня гармонійна - це величина обернена до середньої арифметичної, з обернених значень ознаки.
Застосовується в тих випадках, коли відсутні частоти, а є дані про варіанти (х) і обсяги сукупності (m).
Середня гармонійна проста застосовується при однакових обсягах сукупності і розраховується по формулі:
де n - число варіант
х - варіанта;
- середнє значення ознаки.
Середня гармонійна зважена застосовується при різноманітних обсягах сукупності і розраховується по формулі:
де m - обсяг сукупності;
х - варіанта;
- середнє значення ознаки.
ТИПОВА ЗАДАЧА
Розрахувати середню заробітну плату робітників виходячи з таких умов:
Таблиця 9
Цех |
Ситуація 1 |
Ситуація 2 |
||
Заробітна плата робітників, грн./люд. (х) |
Фонд оплати праці, грн. (m) |
Заробітна плата робітників, грн./люд. (х) |
Фонд оплати праці, грн. (m) |
|
1 2 3 |
200 150 130 |
4000 24000 3900 |
200 100 150 |
6000 6000 6000 |
Всього |
- |
31900 |
- |
18000 |
Середня заробітна плата робітників:
Ситуація 1
( - кількість робітників цеху №1 і т.д.)
Ситуація 2
У ситуації 2 розрахунок середньої заробітної плати можна виконати за допомогою середньої арифметичної зваженої:
-
Середня квадратична
Застосовується для визначення середніх сторін квадратів, середніх діаметрів циліндричних тіл та ін.
Проста Зважена
Позначення ті ж, що й у попередніх середніх.
ТИПОВА ЗАДАЧА
Є два квадрати зі сторонами 20 і 50 см. Визначити середню сторону квадрату.
Середня арифметична з цих величин - 35 см ( ) - помилковий результат.
Площа обох квадратів із такою стороною дорівнює 2450 см2 (3522), а справжня площа - 2900 см2 (202 + 502).
Знаючи площу двох квадратів (2900 см2) можна визначити сторону рівновеликого квадрата, вона буде дорівнювати кореню квадратному з половини загальної площі ( ) цей же результат дає і середня квадратична.
-
Структурні середні (мода, медіана).
Модою в статистиці називається ознака, що зустрічається в досліджуваній сукупності найбільш часто. Для дискретного ряду розподілу модою буде ознака, що має найбільшу частоту (наприклад: 160 грн./люд. , табл.8).
У інтервальних рядах розподілу моду визначають по формулі:
де Мо - мода;
хо - початкове значення модального інтервалу
(інтервалу, що має найбільшу частоту ознаки);
iMo - величина модального інтервалу;
fMo - частота модального інтервалу;
fMo-1- частота інтервалу, що передує модальному;
fMo+1- частота інтервалу, наступного за модальним.
Медіаною, або серединною варіантою називається значення ознаки, що знаходиться в середині ряду значень, розташованих у порядку їхнього зростання або зменшення (ранжованний ряд розподілу).
Місце медіани у ранжованному ряду розподілу розраховується по формулі:
де NMe номер (місце) медіани;
сума частот.
За даними табл.8 (ситуація 1):
таким чином 100 і 101 значення заробітної плати робітників є медіаною (160 грн./люд)
Медіана в інтервальному ряду розподілу розраховується по формулі:
де xo - початкове значення медіаного інтервалу (інтервал,
у якому знаходиться медіана);
iMe - величина медіаного інтервалу ;
- полусума частот ;
SMe-1- сума наростаючих (кумулятивних) частот,
що стоять перед медіаною частотою;
fMe - частота медіаного інтервалу.
ТИПОВА ЗАДАЧА
За даними таблиці визначити моду і медіану:
Таблиця 10
Заробітна плата, грн./чол |
Кількість робочих, чол. |
Кумулятивна частота |
100 - 120 120 - 140 140 - 160 160 - 180 180 - 200 200 - 220 220 - 240 |
10 20 55 40 50 20 15 |
10 30 (10+20=30) 85 (30+55=85) 125 (85+40=125) 175 (125+50=175) 195 (175+20=195) 210 (195+15=210) |
Разом |
210 |
|
Модальний інтервал - 140-160 грн./чол. (має найбільшу частоту ознаки).
Мода:
Номер медіани: (105, 106 робітник)
Медіаний інтервал - 160 - 180 грн./люд. (тому що заробітна плата 105 і 106 робітника знаходиться в інтервалі 160 - 180 грн./люд.
Медіана:
Крім медіани в ряду розподілу можна розрахувати квартилі (поділяють ранжованний ряд розподілу на чотири рівні частини), децілі (поділяють ряд на десять рівних частин).