Лабораторная работа № 25 колебания струны

Цель работы:

Изучение колебательного движения струны. Исследование зависимости частоты затухающих колебаний струны от силы натяжения, длины, плотности материала струны и радиуса её поперечного сечения.

Оборудование:

Установка, включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром, измерительную линейку с подвижными порожками, электрическую лампочку с держателем, фотоэлемент, низкочастотный усилитель, осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоточек; набор струн.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть.

1. Стоячие волны

Стоячей волной называется колебательный процесс, возникающий в результате наложения двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение стоячей волны. Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:

(1)

где a – амплитуда смещения; ω – циклическая частота; - волновое число; λ – длина волны; φ₁ и φ₂ – начальные фазы колебаний; x – координата рассматриваемой точки (ось направлена вдоль струны).

При наложении этих волн возникает колебательный процесс:

(2)

Преобразовав это выражение по формуле для суммы косинусов, получим:

(3)

Выберем начало отсчета времени так, чтобы в этот момент времени фаза равнялась нулю, а начало отсчета координаты так, чтобы в этой точке фаза равнялась (). Тогда уравнение (3) примет вид:

(4)

Это и есть уравнение стоячей волны. Сомножитель описывает гармонические колебания. Однако, как видно из формулы (4) амплитуда этих колебаний зависит от координаты x по закону . Внешний вид этого колебания схематически изображен на Рис. 1

Рис. 1 – Схематическое изображение стоячей волны

Узлами называются точки, в которых амплитуда колебаний обращается в ноль.

В узлах точки среды колебаний не совершают (см. Рис. 1). Очевидно, что координаты узлов должны удовлетворять условию:

(5)

Пучностями называются точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (см. Рис. 1).

Соответственно, координаты пучностей удовлетворяют условию:

(6)

Следует иметь в виду, что стоячая волна представляет собой особый вид колебательного движения и, несмотря на название, в строгом смысле слова волной не является, так как стоячая волна не переносит энергию в пространстве.

2. Колебания струны как пример стоячей волны

На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отражённая волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Ещё одним примером стоячих волн являются колебания закреплённой с обоих концов натянутой струны. Концы струны колебаться не могут, а значит, в этих точках стоячая волна должна иметь узлы. Следовательно, возбуждаться могут только такие колебания, длина волны которых позволяет реализовать это условие. Другими словами, половина длины волны должна укладываться на длине волны целое число раз, как это показано на Рис. 2. Пронумеруем эти колебания, начиная с самой большой длины волны, и запишем соотношение между длиной струны и длиной волны колебания с номером n (см. Рис. 2). В общем виде это соотношение имеет вид:

или (7)

Рис. 2 – Собственные колебания струны

Длинам волн (7) соответствуют частоты:

(8)

где V – фазовая скорость волны – скорость, с которой колебания распространяются вдоль струны. Эти частоты называют собственными частотами.

Основной частотой называется частота ν, соответствующая n=1:

(9)

Собственные (нормальные) колебания или гармоники – гармонические колебания с собственными частотами.

Фазовая скорость волны постоянна во времени и определяется плотностью ρ материала струны и силой её натяжения F:

(10)

где S – площадь сечения струны. Для струны с круглым сечением диаметра d: , и формула (10) приобретает вид:

(11)

Экспериментальная проверка этого соотношения и является основным содержанием данной лабораторной работы