Глава 1

=============

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Случайные события

1.1. Некоторые формулы комбинаторики

Правило произведения. Если объект А может быть выбран n₁ способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран n₂ способами, то выбор пары А и В может быть осуществлен n₁n₂ способами. Это правило распространяется и на случай выбора трёх, четырёх и т.д. объектов.

Правило суммы. Если первое событие может произойти n₁ способами, а второе - n₂ способами независимо от первого, то первое или второе события могут произойти n₁+n₂ способами.

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества У из k элементов. Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.

Если выбор элементов множества У из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле n^k.

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством .

Пример. Пусть даны пять цифр: 1; 2; 3; 4; 5. Определим сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет . Если цифры не повторяются, то . ◄

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно .

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество У, т.е. два подмножества У₁ и У₂ из k элементов, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся их порядком будем считать одинаковыми. Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и равно

.

В дальнейшем будем считать . Заметим, что справедливо равенство .

Пример. В группе из 27 человек нужно выбрать трех делегатов на профсоюзную конференцию. Найдем сколькими способами это можно сделать

. ◄

1.2. Классическое определение вероятности. Относительная

частота события. Статистическое определение

вероятности. Геометрические вероятности

1. Основным объектом классической теории вероятности является так называемое случайное событие, то есть событие, которое может произойти или не произойти в результате проведенного опыта.

Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием. Рассмотрим виды событий.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Будем говорить, что случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть случаями (исходами). Событие такой группы называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет появление А.

Пример. В урне находится 8 шаров, на каждом из которых поставлено по одной цифре от 1 до 8. Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (2 или 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. ◄

Числовая величина, характеризующая степень возможности данного события, называется его вероятностью. Если можно пересчитать все возможные исходы проводимого опыта и если ни один из этих исходов не имеет приоритета по сравнению с другими (то есть при большом количестве опытов все исходы наблюдаются с одинаковой частотой), то говорят, что мы имеем дело со схемой случаев.

Будем считать, что — число возможных исходов данного опыта, а — число его исходов, при которых происходит некоторое событие (назовем такие исходы благоприятными или благоприятствующими событию Тогда вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к числу возможных:

.

Заметим, что вероятность достоверного события р=1. Вероятность невозможного события р=0. Кроме того из определения вероятности следует, что для любого события А

.

Пример. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что обе они — тузы.

Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, а вторую — 31 (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможных исходов опыта . Определим число благоприятных исходов. Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй — из трех оставшихся. Значит, число благоприятных исходов и искомая вероятность равна

. ◄

Во многих случаях, однако, непосредственный перебор всех возможных исходов опыта затруднителен в силу их большого количества. Для решения таких задач полезно использовать некоторые комбинаторные формулы, в частности, формулу для числа сочетаний. Напомним, что число сочетаний из по , то есть число различных неупорядоченных наборов из элементов, выбранных из имеющихся различных объектов, равно

В частности, если имеется группа из объектов двух видов ( элементов первого вида и — второго), из которых требуется выбрать элементов, среди которых должно быть предметов первого типа и второго, вероятность того, что случайно извлеченная подгруппа имеет нужный состав, определяется так:

Знаменатель этой дроби представляет собой число возможных исходов опыта, то есть количество различных наборов по элементов, выбранных из имеющихся без учета их качественного состава. В числителе — число благоприятных исходов, представляющее собой число возможных наборов из элементов нужного вида, умноженное на количество возможных наборов из предметов второго типа.

Примеры.

1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Пусть событие А – номер вынутого шара не превосходит 10. Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. ◄

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. ◄

3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Здесь всего случаев n=36. Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно, . ◄

4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?

Составим схему возможных случаев.

	Первая монета	Вторая монета
1 случай 2 случай 3 случай 4 случай	герб герб не герб не герб	герб не герб герб не герб

Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1. Следовательно, р=1/4. ◄

5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: . Число случаев, когда среди этих двух шаров будут оба белые, равно . Искомая вероятность будет . ◄

6. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь — «наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».

Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Число благоприятных исходов является произведением количества способов, которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборов по три «наполеона» из семи:

Следовательно, искомая вероятность равна ◄

7. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е. . ◄

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность . ◄

8. Пять книг расставляются на полку. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

Число всех способов, которыми можно расставить на полке пять книг, равно числу перестановок из пяти элементов .

Подсчитаем число благоприятствующих случаев. Две определенные книги можно поставить рядом 2!=2 способами. Оставшиеся книги можно расположить на полке способами. Поэтому .

Итак, . ◄

2. Статистическое определение вероятности. Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются.

Относительной частотой р^* случайного события А называется отношение числа m^* появления данного события к общему числу n^* проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие.

.

Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях.

При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней:

.

3. Геометрический метод вычисления вероятностей. Если множество возможных исходов опыта можно представить в виде отрезка прямой или в виде некоторой плоской или трехмерной области, а множество исходов, благоприятных событию — как часть этой области, то вероятность рассматриваемого события определяется следующим образом:

где — длина отрезка (площадь или объем области), задающего множество возможных исходов, а — соответствующая мера множества благоприятных исходов.

Пример. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна

◄

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под событием? Как подразделяются события?

2. Какие события называются элементарными или случаями?

3. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей и следствия из них

4. Сформулируйте классическое определение вероятности события. Укажите возможные границы вероятности.

5. Что такое относительная частота появления события или частость? В чем состоит свойство статистической устойчивости относительной частоты? В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?