Для сплошного сечения

Для кольевого толстостенного сечения

Для кольевого тонкостенного сечения (=<0.05d)

Условия прочности при кручении.

где [] допускаемое напряжение

Задача 9. Для вала рис.4, подобрать диаметр из условия прочности и жесткости при допускаемом напряжении []=80МПа и допускаемом относительном угле закручивания []=2⁰ на погонный метр. Определить напряжения в точке А сечения 1-1 и в точке В сечения 2-2. Вычислить угол закручивания всего вала. Модуль упругости при сдвиге принять G = 8 10⁴ МПа. Условие прочности вала при кручении , где _max– максимальное напряжение.

Решение. Так как диаметр вала неодинаков по длине, а именно d₁=2d₂ , необходимо выяснить на каком участке вала возникает максимальное напряжение. Для этого сравним ₁, ₂

где М _К1– крутящий момент на первом участке, М _К1 = 50 кНм;

• W_P1 - момент сопротивления сечения при кручении,

где М _К2 – крутящий момент на втором участке вала, М _К2= 32,5 кНм;

W_P2 - момент сопротивления сечения на втором участке при кручении,

М _К2=32,5 кН

Воспользуемся соотношением диаметров и найдём значения касательных

напряжений:

=165010³/(3.148d₂³)=31850/ d₂³

=1632.510³/(3.14d₂³)=165600/ d₂³

ВЫВОД: Итак, ₂>₁ следовательно, расчёт ведём по второму участку:

165600/ d₂³ <= []=80Мпа

Исходя из расчёта на прочность, диаметр вала d₂ следует принять большим или

равным 0,127 м.

Определим d₂ из расчёта на жёсткость вала. Так как по условию задачи относительный угол закручивания вала равен []=2⁰ на погонный метр, то условие жёсткости примет вид _max<=[] , где

_max максимальный относительный угол закручивания вала.

Для удобства расчёта переведём 2⁰ на погонный метр в рад/м: Составит 0.349 рад/м.

Расчёт по-прежнему ведём по второму участку:

где М _К2 – крутящий момент на втором участке;

J_P2 полярный момент инерции; для сплошного круга

G модуль упругости при сдвиге, для стального вала G= 810⁴ Мпа.

(Прим. Проверьте размерности в левой и правой частях неравенства.)

Отсюда

Подставляя значения величин, получим:

Исходя из условия жесткости, получили:

d₂>=0,104 м

Итак, чтобы одновременно выполнялись условия и жесткости и прочности, необходимо принять d₂>=0,127 м, например, d₂=13 см, тогда d₁ =2*13 = 26 см.

Определим напряжение в точке а сечения 1-1 .

Для этого используем формулу для определения касательного напряжения в произвольной точке сечения:

где М – крутящий момент;

- расстояние от точки до центра вала;

J_P полярный момент инерции. для круга

Для точки А:

=…=9.59 Мпа.

В сечении 2-2 необходимо определить напряжение в точке В, лежащей на контуре сечения. Известно, что точки, лежащие на контуре, имеют наибольшие напряжения, определяемые по формуле:

В нашем случае

где

Угол скручивания вала определяется по формуле:

где М_K – крутящий момент на рассматриваемом участке;

l- длина рассматриваемого участка;

G- модуль упругости при сдвиге;

J_P полярный момент инерции.

Угол закручивания вала, состоящего из нескольких участков, равен алгебраической сумме углов закручивания каждого участка:

Для нашего случая:

+=…=0.01728 рад.

При плоском изгибе двум видам внутренних усилий (М и Q) соответствуют два вида напряжений – нормальные  и касательные _и :

; ;

Для решения задачи напомним известные формулы моментов инерции и моментов сопротивления сплошного круглого (диаметром d )

; ;

и прямоугольного ( b*h) сечений:

; ;

Вычисление нормальных напряжений не вызывает затруднений. Остановимся более подробно на анализе формулы Журавского. Для любого сечения Q/J_z= const. Следовательно, _и изменяются с изменением величины статического момента S_z(x). Статический момент вычисляется как произведение площади фигуры F_(y), расположенной на высоте y, на расстояние y_c от центра тяжести этой фигуры до центральной оси Z (рис.17):

S_z(x)= F_(y) y_c

Рис 17.

По ширине сечения касательные напряжения распределены равномерно: _и^А=_и^В (рис.17). Расчёт на прочность при изгибе несколько отличается от аналогичных расчётов при кручении и растяжении. Сначала из условия прочности по нормальным напряжениям

находят величину

Зная момент сопротивления W_Z, определяют размеры сечения ( для круглого и прямоугольного сечений по приведённым выше формулам, для прокатных профилей – из сортамента).

Затем принятое сечение проверяют на срез по условию: