7. Элементы релятивистской механики Лекция № 12

7.6. Импульс в релятивистской механике.

7.7. Релятивистские законы Ньютона.

7.8. Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии.

7.9. Связь между энергией и импульсом частицы.

7.6. Импульс в релятивистской механике

Принцип относительности СТО предполагает, что все уравнения релятивистской динамики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца. Поэтому инвариантность формулируемых законов движения в релятивистской механике является определяющим критерием того, что они правильно отражают физическую реальность.

В классической механике Ньютона импульс определяется соотношением . Требование, что в релятивистской механике (как и в механике Ньютона) для изолированной системы тел в любой инерциальной системе отсчета выполнялся закон сохранения импульса, и учет законов преобразования скоростей при переходе из одной системы отсчета в другую, приводит к тому, что импульс релятивистской частицы будет определяться выражением

, (7.6.1)

где − релятивистская масса движущейся частицы; m₀ − массой покоя частицы, т. е. масса частицы в собственной системе отсчета.

Выражение (7.6.1) позволяет сделать важнейший вывод: в релятивистской динамике масса частицы зависит от скорости ее движения. При  << c (это соотношение всегда выполняется в классической механике), получаем m = m₀ = const.

7.7. Релятивистские законы Ньютона

Первый закон Ньютона, являющийся выражением принципа относительности, сохраняет свою классическую формулировку в релятивистской динамике.

Выражение для второго закона Ньютона в релятивистской механике также сохраняет свою классическую формулировку при условии, что импульс определяется по формуле (7.6.1)

. (7.7.1)

Релятивистское уравнение (7.7.1) инвариантно относительно преобразований Лоренца.

Третий закон Ньютона в релятивистской динамике справедлив только для контактных сил. В классической механике для сил, действующих на расстоянии, предполагается мгновенная передача взаимодействия без материального посредника. Это несовместимо с релятивистским положением о том, что максимальная скорость передачи взаимодействия не может быть больше скорости света в вакууме. Поэтому для взаимодействий с конечной скоростью распространения третий закон Ньютона в своей классической формулировке неприменим.

7.8. Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии

Понятие энергии в релятивистской механике сохраняет тот же смысл, что и в классической механике. Однако требование инвариантности уравнений релятивистской механики относительно преобразований Лоренца приводит к установлению взаимосвязи между энергией E и массой т частицы, а также к изменению выражения для ее кинетической энергии К.

Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Изменение кинетической энергии материальной точки при элементарном перемещении равно работе, совершаемой силой , действующей на точку, при этом перемещении

. (7.8.1)

Воспользуемся релятивистским выражением второго закона Ньютона (7.7.1), и с учетом получаем



 . (7.8.2)

С учетом из выражения (7.8.2) получаем

 . (7.8.3)

Интегрирование уравнения (7.8.3) приводит к выражению

, (7.8.4)

где С – постоянная интегрирования.

Найдем постоянную интегрирования С. Для этого воспользуемся условием, что при  = 0 кинетическая энергия К должна быть тоже равна нулю. С учетом этого из выражения (7.8.4) получаем C = −m₀ c². Таким образом, релятивистское выражение для кинетической энергии имеет вид

. (7.8.5)

Величина

(7.8.6)

называется полной энергией свободной частицы (при отсутствии внешних полей).

Величина

E₀ = m₀ c² (7.8.7)

называется энергией покоя (при  = 0).

С учетом формул (7.8.6, 7.8.7) выражение для кинетической энергии (7.8.5) можно записать в виде

К = E − E₀ = mc² − m₀ c². (7.8.8)

При  << c, с учетом , получаем выражение для кинетической энергии в классической механике

. (7.8.9)

Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки ее кинетическая энергия, вычисленная по релятивистской формуле (7.8.5), совпадает с выражением (7.8.9) для энергии в классической механике.

Из соотношения (7.8.6) следует также важный вывод: энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением его релятивистской массы и, наоборот, всякое изменение релятивистской массы сопровождается изменением энергии тела

E = mc². (7.8.10)

Это утверждение носит название закона взаимосвязи релятивистской массы и энергии.